Toán 9 chứng minh bdt

[nguyenngoc2212]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a[tex]\geq[/tex]1 ;b[tex]\geq[/tex]1 cm [tex]\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}[/tex]

 

[Lê Tự Đông]

cho a[tex]\geq[/tex]1 ;b[tex]\geq[/tex]1 cm [tex]\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}[/tex]

Xét hiệu
$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}} - \frac{2}{1+ab}= \frac{a^{2}+b^{2}+2}{(1+a^{2})(1+b^{2})}-\frac{2}{1+ab} = \frac{ab(a^{2}+b^{2}+2)+a^{2}+b^{2}+2-2(a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)}=\frac{ab(a^{2}+b^{2}-2ab)-(a^{2}+b^{2}-2ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)} = \frac{(ab-1)(a-b)^{2}}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)} \geq 0$ (đúng với $a,b \geq 1$)
=> đpcm

 

[nguyen van ut]

cho a[tex]\geq[/tex]1 ;b[tex]\geq[/tex]1 cm [tex]\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}[/tex]

Xét hiệu
$\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}} - \frac{2}{1+ab}= \frac{(1+b^{2})(1+ab)+(1+a^{2})(1+ab)-(1+a^{2})(1+b^{2}}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)} = \frac{1+ab+b^{2}+b^{2}ab+a^{2}ab+1+ab+a^{2}-1-(ab)^{2}-a^{2}-b^{2}}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)} = \frac{ab(a^{2}+b^{2}-2ab)+(ab)^{2}+2ab+1}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)} = \frac{ab(a-b)^{2}+(ab+1)^{2}}{(1+a^{2})(1+b^{2})(1+ab)} \geq 0$ (đúng với $a,b \geq 1$)
=> đpcm

tích cuối chưa nhân 2 ạ