Toán 9 Chứng minh BĐT

Thảo luận trong 'Căn bậc hai. Căn bậc ba' bắt đầu bởi Lena1315, 30 Tháng ba 2020.

Lượt xem: 157

  1. Lena1315

    Lena1315 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    405
    Điểm thành tích:
    76
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Ngoc Lam
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Chứng minh bất đẳng thức: upload_2020-3-30_20-35-23.png
     
  2. Hanhh Mingg

    Hanhh Mingg Học sinh tiến bộ Thành viên

    Bài viết:
    281
    Điểm thành tích:
    156
    Nơi ở:
    Nam Định
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Giao Thủy

    +) Trước hết đi CM trong trường hợp : [tex]a\geq b > 0 [/tex]
    Ta có bđt kẹp: [tex]2a^2+bc\leq 2a^2+ac\leq 2(a+c)^2[/tex] (1) (bđt này luôn đúng với a,b,c không âm và [tex]a\geq b[/tex] )
    Mặt khác theo bđt AM-GM ta có:
    [tex](2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq \frac{[(2b^2+ac+2c^2+ab)]^2}{4}\doteq \frac{2(b^2+c^2)+a(b+c)}{4}\leq \frac{[2(b+c)^2+a(b+c)]^2}{4}=\frac{(b+c)^2(a+2b+2c)^2}{4}\leq \frac{(b+c)^2(a+2b+3c)^2}{4}=4(b+c)^2[/tex] (2)
    Từ (1) và (2) ta có: [tex](2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq 8(a+c)^2(b+c)^2[/tex]
    Giờ đi CM : [tex](a+c)^2(b+c)^2\leq 4[/tex] là xong
    Theo AM-GM ta có: [tex](a+c)(b+c)=\frac{1}{2}(a+c)(2b+2c)\leq {\frac{[(a+c)+(2b+2c)]^2}{8}}=\frac{(a+2b+3c)^2}{8}=2\Rightarrow (a+c)^2(b+c)^2\leq 4[/tex]
    Từ đó ta rút ra 1 bđt tổng quát: Với mọi x,y,z không âm thỏa mãn [tex]x\geq y[/tex] ta luôn có: [tex](2x^2+yz)(2y^2+xz)(2z^2+xy)\leq \frac{(x+2y+3z)^6}{128}[/tex] (*)
    +) Giờ đi xét trường hợp [tex]0<a<b[/tex]
    khi đó áp dụng bđt (*) cho bộ (b,a,c) ta được:
    [tex](2a^2+bc)(2b^2+ac)(2c^2+ab)\leq\frac{(b+2a+3c)^6}{128}< \frac{(a+2b+3c)^6}{128}=32[/tex]
    Vậy bđt được CM
    Dấu "=" xra khi a=2,b=1,c=0
     
    Mộc Nhãn, Mai Anh 2k5, ~ Su Nấm ~2 others thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->