Toán 9 Chứng minh bđt

Cho a,b,c >0,a+b+c=1. CMR:
[tex]\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\geq 30[/tex]

 

Bạn áp dụng BĐT cauchy nha
Có[tex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\geq \frac{9}{ab+bc+ca}[/tex]
=> VT[tex]\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}[/tex]
[tex]\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}[/tex]
Theo hệ quả BĐT cauchy
=> ab+bc+ca [tex]\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^2=\frac{1}{3}.1=\frac{1}{3}( do a+b+c=1)
=>\frac{7}{ab+bc+ca}\geq 21[/tex] (*1)
Áp dụng cauchy dạng phân thức
=>[tex]\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)}=9[/tex](*2)
Từ (*1) và (*2)
=> VT [tex]\geq 21+9=30[/tex] ( dpcm)
Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]