Cho a, b, c > 0. Chứng minh:
[tex]\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}[/tex] [tex]\geq \frac{a+b+c}{2}[/tex]
Do a, b ,c > 0 nên $\dfrac{a^{2}}{b+c};\dfrac{b^{2}}{c+a};\dfrac{c^{2}}{a+b} > 0$ và $\dfrac{b + c}{4} ; \dfrac{c + a}{4} ;\dfrac{a +b}{4} > 0$
Áp dụng BĐT Cô - si cho các số dương ta có
$\dfrac{a^{2}}{b+c} + \dfrac{b + c}{4} \geq a\\
\dfrac{b^{2}}{c+a} + \dfrac{c + a}{4} \geq b\\
\dfrac{c^{2}}{a+b} + \dfrac{a +b}{4} \geq c$
Cộng từng vế ta được :
$\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b} + \dfrac{a + b +c}{2} \geq a + b + c$
Hay $\dfrac{a^{2}}{b+c}+\dfrac{b^{2}}{c+a}+\dfrac{c^{2}}{a+b}\geq \dfrac{a+b+c}{2}$
Dấu ''='' xảy ra khi $a = b =c$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
