Toán 9 Chứng minh BĐT bằng hình học

Topic này tớ lập ra để đăng 1 số bài chứng minh BĐT mà có thể giải bằng cách hình học. Các bạn có thể đưa ra càng nhiều cách càng tốt. @ankhongu @mbappe2k5 các bạn tham gia với nhé ....
1. Cho 3 số dương a,b,c . Chứng minh [tex]\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \sqrt{a^2+ac+c^2}[/tex]
Ngày mai mình sẽ đưa ra đáp án và bài tiếp theo.

@Love You At First Sight

 

Lời giải: Vẽ đoạn AB = a, BC = b, BD = c và [tex]\widehat{ABC}=\widehat{CBD}=60^o[/tex]
Sử dụng định lí cos ta có: [tex]AC^2=a^2-ab+b^2;CD^2=b^2-bc+c^2\Rightarrow AC+CD=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}[/tex]
Lại có: [tex]AD^2=a^2+ac+c^2\Rightarrow AD=\sqrt{a^2+ac+c^2}[/tex]
Mà [tex]AC+CD\geq AD\Rightarrow \sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \sqrt{a^2+ac+c^2}[/tex]
2. Chứng minh với mọi số thực a,b,c,d ta luôn có:
[tex]\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}[/tex]