chứng minh bất đẳng thức

[haotiensinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

CMR voi moi a,b,c>0 ta deu co
[TEX]a/(bc(c+a))+b/(ca(a+b))+c/(ab(b+c))>=27/(2(a+b+c)^2)[/TEX]

 

[kira_l]

CMR voi moi a,b,c>0 ta deu co
a/(bc(c+a))+b/(ca(a+b))+c/(ab(b+c))>=27/(2(a+b+c)^2):-SS

sửa lại cho anh cái đề

[TEX] \frac{a}{bc(c+a)} + \frac{b}{ca(a+b)} + \frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} [/TEX]

 

[justforlaugh]

\frac{a}{bc(c+a)} + \frac{b}{ca(a+b)} + \frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2}

Lâu lâu lắm rồi mới làm đc bài bất đẳng thức.

[TEX]\frac{a}{bc(c+a)} = \frac{a+c-c}{bc(c+a)} = \frac{1}{bc}-\frac{1}{bc+ba}.[/TEX]

Áp dụng cái bdt [TEX]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x+y} \Rightarrow \frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{x} +\frac{1}{y}) [/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{bc(c+a)} \geq \frac{3}{4bc} - \frac{1}{4ba}.[/TEX]

Tương tự cho 3 cái kia,
[TEX]\Rightarrow \frac{a}{bc(c+a)} + \frac{b}{ca(a+b)} + \frac{c}{ab(b+c)} \geq \frac{1}{2}.(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca})[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \geq\frac{9}{2(ab+bc+ca)}.[/TEX]

Lại có [TEX]ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}[/TEX] . rồi thay vào là ra đc cái đề bài.

Ko biết có sai chỗ nào ko.

 

[rua_it]

sửa lại cho anh cái đề

[TEX] \frac{a}{bc(c+a)} + \frac{b}{ca(a+b)} + \frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} [/TEX]

$$LHS:=\sum_{cyclic} \frac{a}{bc.(c+a)} =\sum_{cyclic} \frac{a^2}{abc.(c+a)}$$

$$\geq \frac{(a+b+c)^2}{abc.(a+c)+abc.(a+b)+abc.(b+c)}$$

$$=\frac{(a+b+c)^2}{2abc.(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2abc}$$

Cần chứng minh :

$$\frac{a+b+c}{2abc} \geq \frac{27}{2.(a+b+c)^2}$$

$$\Leftrightarrow (a+b+c)^3 \geq 27abc$$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng.

p/s: Nói quá

 

[quyenuy0241]

sửa lại cho anh cái đề

[TEX] \frac{a}{bc(c+a)} + \frac{b}{ca(a+b)} + \frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} [/TEX]

Cách khác !!!
Đặt$$a'=\frac{a}{a+b+c},,b'=\frac{b}{a+b+c},,c'=\frac{c}{a+b+c}$$

Với a'+b'+c'=1

BDt cần CM tương đương bài toán trở lên đơn giản hơn với !
[TEX] \frac{a'}{b'c'(c'+a')} + \frac{b'}{c'a'(a'+b')} + \frac{c'}{a'b'(b'+c')}\geq \frac{27}{2} [/TEX]

với a'+b'+c'=1

 

[quyenuy0241]

sửa lại cho anh cái đề

[TEX] \frac{a}{bc(c+a)} + \frac{b}{ca(a+b)} + \frac{c}{ab(b+c)}\geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} [/TEX]

Hoặc có thể làm như sau!

AM-GM trực tiếp
$$VT \ge \sqrt[3]{\frac{1}{abc(a+b)(a+c)(b+c)}}$$
Cần CM: $$\sqrt[3]{\frac{1}{abc(a+b)(a+c)(b+c)}} \ge \frac{9}{2(a+b+c)^2}$$

$$\Leftrightarrow 2^3.(a+b+c)^6 \ge 3^6abc(a+b)(a+c)(b+c)$$

Theo AM-GM : $$3^3abc \le (a+b+c)^3 (1)$$

$$3^3(a+b)(a+c)(b+c) \le 2^3(a+b+c)^3 (2)$$
Nhân (1) ,,(2) xong!!!