Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức

[Kitahara]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [imath]x,y,z>2[/imath] và [imath]\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1[/imath]. Chứng minh [imath](x-2)(y-2)(z-2)\leq 1[/imath]
Giúp em câu này nhé. Em cảm ơn mọi người nhiều ạ.
@Mộc Nhãn @iceghost @Cáp Ngọc Bảo Phương @chi254 @vangiang124 @kido2006

 

[7 1 2 5]

Nếu ta đặt [imath](x-2,y-2,z-2)=(a,b,c)[/imath] thì ta sẽ có bài toán quen thuộc như sau:
"Cho 3 số thực dương [imath]a,b,c[/imath] thỏa mãn [imath]\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1[/imath]. Chứng minh [imath]abc \leq 1[/imath]"
Chứng minh như sau:
[imath]\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}=1 \Rightarrow \dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}=2 \Rightarrow \dfrac{2}{a+2}=1-\dfrac{2}{b+2}+1-\dfrac{2}{c+2}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{2}{a+2}=\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2} \geq 2\sqrt{\dfrac{bc}{(b+2)(c+2)}} \Rightarrow \dfrac{1}{a+2} \geq \sqrt{\dfrac{bc}{(b+2)(c+2)}}[/imath]
Tương tự thì [imath]\dfrac{1}{b+2} \geq \sqrt{\dfrac{ca}{(c+2)(a+2)}}, \dfrac{1}{c+2} \geq \sqrt{\dfrac{ab}{(a+2)(b+2)}}[/imath]
Nhân vế theo vế ta được [imath]\dfrac{1}{(a+2)(b+2)(c+2)} \geq \dfrac{abc}{(a+2)(b+2)(c+2)} \Rightarrow abc \leq 1[/imath].
Từ đó ta có đpcm.

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
https://diendan.hocmai.vn/threads/t...c-mon-danh-cho-ban-hoan-toan-mien-phi.827998/