Chứng minh: [tex]\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^2}\leq 3[/tex] với [tex]a,b,c> 0[/tex] và [tex]a+b+c=ab+bc+ca[/tex]
Kí hiệu [tex]\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^2}=\sum \frac{a+b}{a^2+b^2}[/tex] cho tiện nhé
[tex]\sum \frac{a+b}{a^2+b^2}\leq \sum \frac{a+b}{\frac{1}{2}(a+b)^2}=\sum \frac{2}{a+b}=2(\sum \frac{1}{a+b})=2(\frac{ (a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(a+b)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)})[/tex]
[tex]=2(\frac{\sum a^2+3\sum ab}{(a+b)(b+c)(c+a)})=2\frac{(a+b+c)^2+\sum ab}{(a+b)(b+c)(c+a)}\leq 2\frac{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex]
Sử dụng Bổ đề quen thuộc [tex](a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)[/tex]
[tex]\Rightarrow VT\leq 2\frac{\frac{4}{3}(a+b+c)^2}{\frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)}=3[/tex] (do [tex]a+b+c=ab+bc+ca[/tex])
Do đó ta đc đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
