Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[7 1 2 5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM. Chứng minh [tex]AB+AC\geq 2AM[/tex](Không sử dụng góc đường tròn).
@iceghost

 

[iceghost]

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM. Chứng minh [tex]AB+AC\geq 2AM[/tex](Không sử dụng góc đường tròn).
@iceghost

Không biết ý em "Không sử dụng góc đường tròn" là sao.

Mấu chốt bài này là chứng minh $AB \cdot AC = AM^2$ là xong.

Gọi $I$ là trung điểm $BC$ thì $$AB \cdot AC = AI^2 - IB^2 = AI^2 + OI^2 - OB^2 = AO^2 - R^2 = AM^2$$

 

[Tungtom]

Mình nghĩ là mình làm sai nhưng cũng trình bày để được nhận xét ạ:

Kẻ OD vuông góc với AB tại D. Nối A với D, Nối O với M.
Dễ dàng chứng minh được D là trung điểm BC=> DB=DC.
Ta có: AB+AC= BD+AD+ AD-DC=2AD.
Áp dụng định lí Py-ta go cho tam giác DOA: AD^2=AO^2-OD^2(1).
Tương tự với tam giác AOM: AM^2=AO^2-OM^2(2).
Vì OD[tex]\leq[/tex]OM nên OD^2[tex]\leq[/tex]OM^2=> (1)[tex]\geq[/tex]2.
=> AD^2[tex]\geq[/tex]AM^2=> AD[tex]\geq[/tex]AM.
=> 2AD[tex]\geq[/tex]2AM.
=>AB+AC[tex]\geq[/tex]2AM.
Cảm ơn mọi người đọc bài và nhận xét ạ.

 

[Ngoc Anhs]

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ cát tuyến ABC và tiếp tuyến AM. Chứng minh [tex]AB+AC\geq 2AM[/tex](Không sử dụng góc đường tròn).
@iceghost

Bạn tự vẽ hình nhá!
Gọi l là trung điểm của BC
Ta có : [tex]AM^2=OA^2-R^2[/tex]
[tex]AB+AC\geq 2AM\Leftrightarrow (AB+AC)^2\geq 4(OA^2-R^2)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (AB+AC)^2\geq 4(AI^2+OI^2-R^2)=4(AI^2-IB^2)=4(AI-IB)(AI+IB)=4AB.AC[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (AB-AC)^2\geq 0[/tex] (luôn đúng)
=> đpcm