Toán 9 Chứng minh bất đẳng thức

[mbappe2k5]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c là chiều dài 3 cạnh tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng:
[tex]a^2+b^2+c^2+2abc<2[/tex]

 

[Tử Thần Trỗi Dậy]

Theo BĐT tam giác ta có: [tex]\left\{\begin{matrix} a+b>c & & & \\ a+c>b& & & \\ b+c>a& & & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]<=>\left\{\begin{matrix} a+b+c>2c & & & \\ a+b+c>2b& & & \\ a+b+c>2a & & & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]<=>\left\{\begin{matrix} c<1 & & & \\ a<1& & & \\ b<1& & & \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]<=>(1-a)(1-b)(1-c)>0<=>1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0[/tex]
[tex]<=>ab+bc+ac>1+abc<=>2(ab+bc+ac)>2+2abc[/tex]
[tex]<=>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>2+2abc+a^2+b^2+c^2[/tex]
[tex]<=>a^2+b^2+c^2+2abc<2[/tex]

 

[Tps1#]

Do tam giác có chu vi = 2 nên dẽ dàng c/m a,b,c < 1
⇒(1 - a)(1 - b)(1 - c) < 0
⇒1 - (a + b + c) + ab + ac + bc - abc > 0
⇒2(ab + ac + bc) > 2 + abc
⇒2(ab + ac + bc) + a^2 + b^2 + c^2 > a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 2
⇒đpcm