Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức

[Minh Thư_lovely princess]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a/ 4x(x+y)(x+z)(x+y+z) + y[tex]^{2}[/tex]z[tex]^{2}[/tex] [tex]\geq[/tex] 0
b/ (ab+bc+ca)[tex]^{2}[/tex] [tex]\geq[/tex] 3abc(a+b+c)
c/ a[tex]^{2}[/tex] +b[tex]^{2}[/tex] +c[tex]^{2}[/tex] +d[tex]^{2}[/tex] +e[tex]^{2}[/tex] [tex]\geq[/tex] a( b+c+d+e)
d/ a[tex]^{6}[/tex]+ b[tex]^{6}[/tex] [tex]\geq[/tex] a[tex]^{5}[/tex]b + ab[tex]^{5}[/tex]
e/ 2[tex]\sqrt{a}[/tex] +3[tex]\sqrt[3]{b}[/tex] [tex]\geq[/tex] 5[tex]\sqrt[5]{ab}[/tex]
f/ [tex]\frac{a^{3}}{b}[/tex] + [tex]\frac{b^{3}}{c}[/tex] + [tex]\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca[/tex]
g/ [tex]\frac{a^{3}}{b^{2}}[/tex] +[tex]\frac{b^{3}}{c^{2}}[/tex] +[tex]\frac{c^{3}}{a^{2}}\geq[/tex] a+b+c
Ai biết bài nào thì giải giúp mình với, cảm ơn nhiều

 

[Minh Thư_lovely princess]

ai giúp mình với mình cần gấp lắm

 

[Kaito Kidㅤ]

a;b;c có dương ko ạ???????????????

 

[Minh Thư_lovely princess]

dạ hình như là không đề không cho điều kiện ạ

 

[Kaito Kidㅤ]

dạ hình như là không đề không cho điều kiện ạ

ko cho điều jieenj thì chỉ CM dc a;b;c thôi ạ các phần sau phải rất cần a;b;c>0 ạ mong anh xem lại đề giúp em

 

[Kaito Kidㅤ]

a.
[tex]4x(x+y)(x+y+z)(x+z)=4(x^2+xy+xz)(x^2+xy+yz+xz)+y^2z^2[/tex]
Đặt [tex](x^2+xy+xz)=k[/tex] có:
[tex]4(x^2+xy+xz)(x^2+xy+yz+xz)+y^2z^2=4k(k+yz)+y^2z^2=4k^2+4kyz+y^2z^2=(2k+yz)^2\geq 0(dpcm)[/tex]
b.
Ta có: [tex](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)\\\rightarrow (ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c)\geq 0\\\rightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 + 2a^2bc + 2b^2ac + 2c^2ab - 3a^2bc - 3b^2ac - 3c^2ab \geq 0\\\rightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 -a^2bc -b^2ac -c^2ab\geq 0\\\rightarrow 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 -a^2bc -b^2ac -c^2ab)\geq 0\\\rightarrow ( ab - ac )^2 + ( ab - bc )^2 + ( bc - ac )^2 \geq 0[/tex] (luôn đúng) -> dpcm
c.
[tex]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge a(b+c+d+e) \\\rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0\\\rightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\\\rightarrow \Leftrightarrow (a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4ae+4e^2)\geq 0\\\rightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2\ge0[/tex] (luôn đúng)
-> dpcm

 

[Sweetdream2202]

chắc a, b, c dương đấy. nếu k dương thì bđt k đúng đâu.
d. [tex]<=>a^6-a^5b+b^6-ab^5>0<=>a^5(a-b)-b^5(a-b)>0<=>(a-b)(a^5-b^5)>=0[/tex] (đúng)
e. [tex]2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\geq 5\sqrt[5]{\sqrt{a}^2.\sqrt[3]{b}^3}=5\sqrt[5]{ab}[/tex]
f. [tex]\frac{a^3}{b}+bc+c^2\geq 3ac[/tex]
tương tự, suy ra [tex]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+a^2+b^2+c^2\geq 2ab+2bc+2ac[/tex]
lai có [tex]^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac[/tex]
từ đó suy ra đpcm
g. [tex]\frac{a^3}{b^2}+b+b\geq 3a[/tex]
theo hướng đó là ra

 

[Minh Thư_lovely princess]

ko cho điều jieenj thì chỉ CM dc a;b;c thôi ạ các phần sau phải rất cần a;b;c>0 ạ mong anh xem lại đề giúp em

chị là girl nhé, đề cô cho chị chép rất cẩn thận mà, mà chỉ CM được a, b, c thôi là sao?

 

[Minh Thư_lovely princess]

chắc a, b, c dương đấy. nếu k dương thì bđt k đúng đâu.
d. [tex]<=>a^6-a^5b+b^6-ab^5>0<=>a^5(a-b)-b^5(a-b)>0<=>(a-b)(a^5-b^5)>=0[/tex] (đúng)
e. [tex]2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\geq 5\sqrt[5]{\sqrt{a}^2.\sqrt[3]{b}^3}=5\sqrt[5]{ab}[/tex]
f. [tex]\frac{a^3}{b}+bc+c^2\geq 3ac[/tex]
tương tự, suy ra [tex]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+a^2+b^2+c^2\geq 2ab+2bc+2ac[/tex]
lai có [tex]^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac[/tex]
từ đó suy ra đpcm
g. [tex]\frac{a^3}{b^2}+b+b\geq 3a[/tex]
theo hướng đó là ra

dạ có thể đề cho thiếu hoặc cô chép thiếu thôi ạ, mà sao (a-b)(a[tex]^{5}[/tex]-b[tex]^{5}[/tex])[tex]\geq[/tex] 0 lại đúng ạ, mình cũng CM tới đó nhưng không biết làm sao

 

[Kaito Kidㅤ]

dạ có thể đề cho thiếu hoặc cô chép thiếu thôi ạ, mà sao (a-b)(a[tex]^{5}[/tex]-b[tex]^{5}[/tex])[tex]\geq[/tex] 0 lại đúng ạ, mình cũng CM tới đó nhưng không biết làm sao

Ko dương sao chơi anh ơi cái vài chỗ cần Cauchy mà

 

[Sweetdream2202]

dạ có thể đề cho thiếu hoặc cô chép thiếu thôi ạ, mà sao (a-b)(a[tex]^{5}[/tex]-b[tex]^{5}[/tex])[tex]\geq[/tex] 0 lại đúng ạ, mình cũng CM tới đó nhưng không biết làm sao

thì a-b và a^5-b^5 , tích của chúng luôn dương vì luôn cùng dấu.

 

[Sweetdream2202]

Ko dương sao chơi anh ơi cái vài chỗ cần Cauchy mà

k cho dương thì bđt sai bạn, ví dụ với câu f, chọn a=b=-1, c=2 xem thử.

 

[Minh Thư_lovely princess]

Ko dương sao chơi anh ơi cái vài chỗ cần Cauchy mà[/QUOTE/]
ừ thì có thể...chị cũng ko biết nữa nhưng mà chị là NỮ nhé

 

[Minh Thư_lovely princess]

a.
[tex]4x(x+y)(x+y+z)(x+z)=4(x^2+xy+xz)(x^2+xy+yz+xz)+y^2z^2[/tex]
Đặt [tex](x^2+xy+xz)=k[/tex] có:
[tex]4(x^2+xy+xz)(x^2+xy+yz+xz)+y^2z^2=4k(k+yz)+y^2z^2=4k^2+4kyz+y^2z^2=(2k+yz)^2\geq 0(dpcm)[/tex]
b.
Ta có: [tex](ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c)\\\rightarrow (ab+bc+ca)^2 - 3abc(a+b+c)\geq 0\\\rightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 + 2a^2bc + 2b^2ac + 2c^2ab - 3a^2bc - 3b^2ac - 3c^2ab \geq 0\\\rightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 -a^2bc -b^2ac -c^2ab\geq 0\\\rightarrow 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 -a^2bc -b^2ac -c^2ab)\geq 0\\\rightarrow ( ab - ac )^2 + ( ab - bc )^2 + ( bc - ac )^2 \geq 0[/tex] (luôn đúng) -> dpcm
c.
[tex]a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 \ge a(b+c+d+e) \\\rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0\\\rightarrow 4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4e^2-4ab-4ac-4ad-4ae\ge0\\\rightarrow \Leftrightarrow (a^2-4ab+4b^2)+(a^2-4ac+4c^2)+(a^2-4ad+4d^2)+(a^2-4ae+4e^2)\geq 0\\\rightarrow (a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2e)^2\ge0[/tex] (luôn đúng)
-> dpcm

à mà câu a em nhân cái nào với nhau mà ra được [tex]4x(x+y)(x+y+z)(x+z)=4(x^2+xy+xz)(x^2+xy+yz+xz)+y^2z^2[/tex] cái này vậy?

 

[Kaito Kidㅤ]

à mà câu a em nhân cái nào với nhau mà ra được [tex]4x(x+y)(x+y+z)(x+z)=4(x^2+xy+xz)(x^2+xy+yz+xz)+y^2z^2[/tex] cái này vậy?

vế trái em viết thiếu y^2z^2 :v chỉ sửa giúp ạ

 

[Minh Thư_lovely princess]

ừ nhưng mà em nhân cái nào lại với nhau thế

 

[Kaito Kidㅤ]

ừ nhưng mà em nhân cái nào lại với nhau thế

 

[Minh Thư_lovely princess]

chắc a, b, c dương đấy. nếu k dương thì bđt k đúng đâu.
d. [tex]<=>a^6-a^5b+b^6-ab^5>0<=>a^5(a-b)-b^5(a-b)>0<=>(a-b)(a^5-b^5)>=0[/tex] (đúng)
e. [tex]2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\geq 5\sqrt[5]{\sqrt{a}^2.\sqrt[3]{b}^3}=5\sqrt[5]{ab}[/tex]
f. [tex]\frac{a^3}{b}+bc+c^2\geq 3ac[/tex]
tương tự, suy ra [tex]\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+a^2+b^2+c^2\geq 2ab+2bc+2ac[/tex]
lai có [tex]^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac[/tex]
từ đó suy ra đpcm
g. [tex]\frac{a^3}{b^2}+b+b\geq 3a[/tex]
theo hướng đó là ra

[tex]2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\geq 5\sqrt[5]{\sqrt{a}^2.\sqrt[3]{b}^3}=5\sqrt[5]{ab}[/tex] sao lại có được cái này ạ?
với [tex]\frac{a^3}{b}+bc+c^2\geq 3ac[/tex] làm sao có ạ?

 

[Sweetdream2202]

[tex]2\sqrt{a}+3\sqrt[3]{b}=\sqrt{a}+\sqrt{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b}\geq 5\sqrt[5]{\sqrt{a}^2.\sqrt[3]{b}^3}=5\sqrt[5]{ab}[/tex] sao lại có được cái này ạ?

à, dư 1 cái [tex]\sqrt[3]{b}[/tex] nha, cái còn lại là cosi 5 số á

 

[Minh Thư_lovely princess]

à, dư 1 cái [tex]\sqrt[3]{b}[/tex] nha, cái còn lại là cosi 5 số á

dạ còn câu f và g ạ? em vẫn chưa hiểu dòng đầu tiên ạ?