Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức

[thaofam2001@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 và a+b+c=3. cmr
$$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\geq \frac{27}{4}$$

 

[Ann Lee]

cho a,b,c>0 và a+b+c=3. cmr
$$a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\geq \frac{27}{4}$$

BĐT cần chứng minh $a^{3}+b^{3}+c^{3}+\frac{15}{a}abc\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{4}$
$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3}+c^{3})+15abc\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})+6abc$ $\Leftrightarrow 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})+9abc\geq 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+9abc\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}$
$\Leftrightarrow (a^{3}-a^{2}c-a^{2}c+abc)+(b^{3}-b^{2}c-b^{2}a+abc)+(c^{3}-c^{2}b-c^{2}a+abc)\geq 0$
$\Leftrightarrow a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ (*)
Không mất tính tổng quát, giả sử $$a\geq b\geq c> 0$$, khi đó:
$$a(a-b)(a-c)\geq b(a-b)(b-c)\Rightarrow a(a-b)(a-c)+ b(b-a)(b-c)\geq 0$$
Mặt khác $$c(c-a)(c-b)\geq 0$$
Suy ra (*) luôn đúng
Đẳng thức xảy ra $$\Leftrightarrow a=b=c=1$$