Toán Chứng minh bất đẳng thức

[Kumud Saraswatichandra]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 7: Cho a,b,c không âm. Chứng minh rằng: [tex]\frac{(a+b)^{2}}{2}+\frac{a+b}{4}\geq a\sqrt{b}+b\sqrt{a}[/tex]
Bài 8: Cho a,b,c,d [tex]\geq[/tex] 0. Chứng minh rằng: [tex]\sqrt{(a+b)(c+d)}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{cd}[/tex]
Bài 9: Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn a + b = 4c. Chứng minh rằng: [tex]2\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{a^{2}-2ac+4c^{2}}+\sqrt{b^{2}-2bc+4c^{2}}\geq 8c[/tex]
Bài 10: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ca = 6abc. Chứng minh:
[tex]\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 3[/tex]
Bài 11: Cho a>c, b>c>0. Chứng minh: [tex]\sqrt{a(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}[/tex]
Bài 12: Cho x,y,z>0. Chứng minh:
[tex]\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}<2[/tex]
Bài 13: Cho a,b > 0. Chứng minh rằng: [tex]\frac{1}{4a^{2}+4b^{2}}+\frac{1}{8ab}\geq \frac{1}{(a+b)^{2}}[/tex]
Bài 14: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\geq \frac{3}{a+b+c}[/tex]
Bài 15: Cho hai số dương a,b thỏa mãn a+b [tex]\leq 1[/tex]. Chứng minh rằng:
[tex]\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geq 14[/tex]
Bài 16: Cho a,b khác 0. Chứng minh:
[tex]\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}-3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+4\geq 0[/tex]
Bài 17: Cho a,b,c > 0. Chứng minh: [tex]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq a+b+c[/tex]

 

[tiểu thiên sứ]

Bài 7: Cho a,b,c không âm. Chứng minh rằng:

ta có
:

=> (a+b)^2 +(a+b)/2 >= 2a.căn(b) +2b.căn(a)
=> 2(a+b)^2 +(a+b) >= 4.căn(ab).[căn(a) + căn(b)]
=> 2(a+b).(a+b+1)>= 4.căn(ab).[căn(a) +căn(b)]
Áp dụng BĐT cô si cho 2 cặp số không âm ta được:
a+b>=2.căn(ab) => 2(a+b)>=4.căn(ab)
(a+b) +1 >=2.căn[(a+b).1] =2.căn(a+b) mà 2.căn(a+b) >căn(a) + căn(b) (lưu ý tí đoạn này áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm (a+b) và 1 nha bạn!)
==> 2(a+b).(a+b+1) >= 4.căn(ab).[căn(a)+căn(b)]

Bài 17: Cho a,b,c > 0. Chứng minh:

[tex]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+ >=2a[/tex]
[tex]\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}>=2c: \frac{ac}{b}+\frac{ba}{c}>=2b[/tex]
[tex]=>2\frac{ab}{c}+2\frac{bc}{a}+2\frac{ac}{b}>=2(a+b+c) =)dpcm[/tex]

Bài 14: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

[tex]\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}>=\frac{9}{2a+b+2b+c+2c+a} >=\frac{3}{a+b+c}[/tex]
dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài 13: Cho a,b > 0. Chứng minh rằng:

[tex]VT=\frac{1}{4}*\frac{1}{a^{2}+b^{2}}+\frac{1}{2ab}>=\frac{1}{4}*\frac{4}{a^{2}+b^{2}+2ab}>=\frac{1}{(a+b)^{2}} dpcm[/tex]

Bài 15: Cho hai số dương a,b thỏa mãn a+b

. Chứng minh rằng:

[tex]3(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}})+\frac{1}{2ab} >=3(\frac{4}{(a+b)^{2}}) +\frac{1}{(a+b)^{2}/2} >=3*4+\frac{1}{1/2}>=14 (dpcm)[/tex]

 

[Blue Plus]

Bài 11: Cho a>c, b>c>0. Chứng minh:

[tex]\sqrt{{\color{Red} c}(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}\\\Leftrightarrow \sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{c}.\sqrt{b-c}\leq \sqrt{ab}\\(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{c}.\sqrt{b-c})^2\leq [(\sqrt{c})^2+(\sqrt{a-c})^2].[(\sqrt{c})^2+(\sqrt{a-c})^2]\\\Leftrightarrow (\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{c}.\sqrt{b-c})^2\leq(c+a-c)(c+b-c)\\\Leftrightarrow (\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{c}.\sqrt{b-c})^2\leq ab\\\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{c}.\sqrt{a-c}+\sqrt{c}.\sqrt{b-c})^2}\leq \sqrt{ab}\\\Leftrightarrow \sqrt{{c}(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}[/tex]

Bài 8: Cho a,b,c,d

0. Chứng minh rằng:

[tex]\sqrt{ab}+\sqrt{cd}=\sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{c}.\sqrt{d}\\(\sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{c}.\sqrt{d})^2\leq [(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2].\left [ (\sqrt{c})^2+(\sqrt{d})^2 \right ]=(a+b)(c+d)\\\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{a}.\sqrt{b}+\sqrt{c}.\sqrt{d})^2}\leq \sqrt{(a+b)(c+d)}\\\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{cd}\leq \sqrt{(a+b)(c+d)}[/tex]