Toán chứng minh bất đẳng thức

[cỏ phong sương]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x,y,z>0 và x+y+z=1
cm:x+2y+z

4(1-x)(1-y)(1-z)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

cho x,y,z>0 và x+y+z=1
cm:x+2y+z

4(1-x)(1-y)(1-z)

$x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)\Leftrightarrow x+y+y+z\geq 4(y+z)(z+x)(x+y)$
Đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c$. BĐT cần cm tương đương vs $a+b\geq 4abc\Leftrightarrow 2-c-4abc\geq 0$
Áp dụng BĐT $4ab\leq (a+b)^2$ ta có:
$2-c-4abc\geq 2-c-c(a+b)^2=2-c-c(2-c)^2=(2-c)(1-2x+c^2)=(2-c)(c-1)^2\geq 0$ (do $c<a+b+c=2$) (đpcm)
Dấu '=' xảy ra khi $a=b;c=1\Leftrightarrow x=z=\dfrac{1}2;y=0$
..........................