Chứng minh bất đẳng thức

[batman1907]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $t\in \left ( 0;1 \right )$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$t+t\sqrt{1-t^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

 

[Hoàng Quốc Khánh]

 

[batman1907]

View attachment 12857

Cách này có vẻ hơi "khủng bố" nhỉ Có ai có hướng đi khác cho bài này nữa không?

 

[linhntmk123]

đk của t là trong ngoặc vuông hay ngoặc tròn bn

 

[batman1907]

đk của t là trong ngoặc vuông hay ngoặc tròn bn

Như bạn đã thấy $t\in \left ( 0;1 \right )$ là trong ngoặc tròn.

 

[linhntmk123]

Như bạn đã thấy $t\in \left ( 0;1 \right )$ là trong ngoặc tròn.

có mệnh đè nào liên quan đến ngoặc tron ko bn

 

[Ray Kevin]

Cho $t\in \left ( 0;1 \right )$. Chứng minh bất đẳng thức sau:
$t+t\sqrt{1-t^{2}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Ta có: [TEX]t \in (0;1) \Rightarrow \sqrt{1-t^2} > 0[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX]t+t \sqrt{1-t^2}=t+\frac{\sqrt3}{2} \cdot 2 \cdot \frac {t} {\sqrt3} \cdot \sqrt{1-t^2} \\\leq t+\frac{\sqrt3}{2} \cdot \left ( \frac{t^2}{3}+1-t^2 \right ) (BDT.Cauchy)\\ =\frac{\sqrt3}{2} \cdot \left ( 1-\frac{2t^2}{3} \right ) = \frac{-t^2}{\sqrt3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+t \\ = - \frac{1}{\sqrt3} \left ( t-\frac{\sqrt3}{2} \right )^2 +\frac{3\sqrt3}{4} \leq \frac{3\sqrt3}{4} [/TEX]
Dấu bằng xảy ra: [TEX]t=\frac{\sqrt3}{2}[/TEX]

 

[Hoàng Quốc Khánh]

Cách này có vẻ hơi "khủng bố" nhỉ Có ai có hướng đi khác cho bài này nữa không?

Không có gì là khủng bố đâu nhé T.Mod
Chỉ cần giải phương trình: [TEX]t+t\sqrt{1-t^2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}[/TEX] để tìm điểm rơi thôi. Sau đó áp dụng [TEX]AM-GM[/TEX] bình thường mà