cho ba số a,b,c>0.chứng minh rằng a^2/(b^2+c^2)+b^2/(a^2+c^2)+c^2/(a^2+b^2)>=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)
Xét $\dfrac{a^2}{b^2 + c^2} - \dfrac{a}{b + c} = \dfrac{a(ab + ac - b^2 - c^2)}{(b^2+c^2)(b + c)} = \dfrac{ab(a - b) + ac(a - c)}{(b^2+c^2)(b + c)}$
Tương tự
$\dfrac{b^2}{a^2 + c^2} - \dfrac{b}{c + c} = \dfrac{bc(b - c) + ba(b - a)}{(a^2+c^2)(a + c)}$
$\dfrac{c^2}{a^2 + b^2} - \dfrac{c}{a + b} = \dfrac{ca(c - a) + cb(c - b)}{(a^2+b^2)(a + b)}$
Cộng từng vế ta được :
$(\dfrac{a^2}{b^2 + c^2} + \dfrac{b^2}{a^2 + c^2} + \dfrac{c^2}{a^2 + b^2}) -( \dfrac{a}{b + c} + \dfrac{b}{c + c} + \dfrac{c}{a + b})$
$= ab(a - b)[\dfrac{1}{(b^2+c^2)(b + c)} - \dfrac{1}{(a^2+c^2)(a + c)}] + ac(a - c)[\dfrac{1}{(b^2+c^2)(b + c)} - \dfrac{1}{(a^2+b^2)(a + b)}] +
bc(b - c)[\dfrac{1}{(a^2+c^2)(a + c)} - \dfrac{1}{(a^2+b^2)(a + b)}]$
Giả sử $a \geq b \geq c >0$ thì các dấu ngoặc tròn và ngoặc vuông đều không âm . Suy ra đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Phương pháp dự đoán điểm rơi thôi mà
