Chứng minh bất đẳng thức

[an180201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp em với được không ạ?
Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn $(a + b)(b + c)(c + a) = 1$. Chứng minh rằng: $ab + bc + ca$ \leq $\frac{3}{4}$
Em xin chân thành cảm ơn ạ! <3

 

[eye_smile]

Với $a;b;c>0$, ta luôn có:

$8(a+b+c)(ab+bc+ac) \le 9(a+b)(b+c)(c+a)$

(BĐT này nhân ra rồi AD Cô-si)

AD vào bài ,đc:

$ab+bc+ca \le \dfrac{9}{8(a+b+c)}$

Lại có: $1=\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)} \le \dfrac{2(a+b+c)}{3}$

\Leftrightarrow $a+b+c \ge \dfrac{3}{2}$

\Rightarrow đpcm.

 

[transformers123]

Cách khác:

$(a+b)(b+c)(c+a)=1$

$\iff (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=1$

$\iff ab+bc+ca =\dfrac{abc+1}{a+b+c}$

Ta có: $(a+b)(b+c)(c+a) \ge 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$

$\iff 1 \ge 8abc$

$\iff abc \le \dfrac{1}{8}$

Ta có: $a+b+c \ge \dfrac{3}{2}$ (chứng minh như cách ở trên)

$\Longrightarrow ab+bc+ca =\dfrac{abc+1}{a+b+c} \le \dfrac{\dfrac{1}{8}+1}{\dfrac{3}{2}} =\dfrac{3}{4}$