Chứng minh bất đăng thức

[ledinhlocpt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:1) Chứng minh rằng ( [tex] a^10 [/tex] + [tex] b^10 [/tex] )( $ a^2 $ + $ b^2 $ ) \geq ( $ a^8 $ + $ b^8 $ )( $ a^4 $ + $ b^4 $ )
2) Cho x.y=1. chứng minh $ \dfrac{x^2 + y^2}{x-y} $ \geq 2$ \sqrt{2} $
3) Chứng minh P(x,y)= 9$ x^2 $$ y^2 $ + $ y^2 $ - 6xy - 2y + 1 \geq 0 với \forall x,y [tex] \in \ [/tex]R
Bài 2: 1) Chứng minh [TEX] \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 } [/TEX] \leq |a| + |b| + |c|
2) Cho 3 số thực [tex] \neq [/tex] 0 x,y,z thoả mãn :
[tex]\left\{ \begin{array}{l} x.y.z = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < x+y+z\end{array} \right.[/tex]
Chứng minh rằng có đúng một trong 3 số x,y,z > 1
3) Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1. Chứng minh rằng $ \dfrac{1}{a} $ + $ \dfrac{1}{b} $ + $ \dfrac{1}{c} $ \geq 9

 

[eye_smile]

3,AD AM-GM, có:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$ \geq $\dfrac{9}{a+b+c}=9$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1/3$

 

[congchuaanhsang]

2, Do x>y \Rightarrow $x-y$>0

$\dfrac{x^2+y^2}{x-y}=\dfrac{(x-y)^2+2}{x-y}=\dfrac{2}{x-y}+(x-y)$ \geq $2\sqrt{2}$ (Cauchy)

 

[eye_smile]

Bài 1.2:Bài này phải có ĐK $x>y$
Ta có: $\dfrac{{x^2}+{y^2}}{x-y}=\dfrac{{(x-y)^2}+2xy}{x-y}=(x-y)+\dfrac{2}{x-y}$ \geq $2\sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow ${(x-y)^2}=2$ và $xy=1$

 

[congchuaanhsang]

1.1, Xét $VT-VP=a^{10}b^2+b^{10}a^2-a^8b^4-a^4b^8$

=$a^8b^2(a^2-b^2)-b^8a^2(a^2-b^2)=(a^2-b^2)(a^8b^2-b^8a^2)$

=$ab(a-b)^2(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^4b+b^4a)$ \geq 0

\Leftrightarrow đpcm

 

[congchuaanhsang]

2.1: Xét $(|a|+|b|+|c|)^2=a^2+b^2+c^2+2(|ab|+|bc|+|ca|)$

\geq $a^2+b^2+c^2$

Do |a|+|b|+|c| không âm nên ta có đpcm

 

[eye_smile]

2.1:Bình phương 2 vế, được:
${a^2}+{b^2}+{c^2}$ \leq ${a^2}+{b^2}+{c^2}+2|ab|+2|bc|+2|ca|$ (luôn đúng)

 

[congchuaanhsang]

2.2, $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$<$x+y+z$

\Leftrightarrow $xy+yz+xz$<$x+y+z$ \Leftrightarrow $xy+yz+xz-x-y-z$<0

\Leftrightarrow $xy+yz+xz-xyz+1-x-y-z$<0

\Leftrightarrow $xy(1-z)+(1-z)-y(1-z)-x(1-z)$<0

\Leftrightarrow $(1-z)(xy+1-y-x)$<0 \Leftrightarrow $(1-z)(y-1)(x-1)$<0

\Rightarrow Trong x,y,z có ít nhất 1 số >1

*Nếu có 2 số >1

Giả sử x,y>1 \Rightarrow z<1 (do xyz=1)

\Rightarrow $(1-z)(x-1)(y-1)$>0 (mâu thuẫn)

\Rightarrow đpcm