Toán 12 Chứng minh bất đẳng thức

[kimhue1995]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: (a-b).(b-c).(c-a) <= (căn3)/18

 

[ngonduoctrongdem]

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng: $(a-b)(b-c)(c-a) \le \frac{\sqrt{3}}{18}$

$a,b,c$ bình đẳng nên giả sử $a\le b\le c$
Đặt $b-a=x\ge 0,c-b=y\ge 0$,khi đó $3a+2x+y=1$\Rightarrow $2x+y\le 1$\Rightarrow $y\le 1-2x$
Khi đó ta chứng minh $xy(x+y)\le \frac{\sqrt{3}}{18}$
$VT\le x(1-2x)(1-x)$
Khảo sát hàm $f(x)=x(1-2x)(1-x)$ trên đoạn $[0;\frac{1}{2}]$ ta được $dpcm$

 

[vodichhocmai]

cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng: (a-b).(b-c).(c-a) <= (căn3)/18

Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]a=min\{a,b,c\}[/TEX]

[TEX]\righ \[(a-b)(b-c)(c-a)\]^2\le \(b-c\)^2b^2c^2[/TEX]

[TEX]\(b-c\)^2x^2b^2c^2 \le \frac{\(b^2+c^2-2bc+2xbc\)^3}{27}[/TEX]

Đồng nhất thử giả thiết ta được [TEX]x=2[/TEX]

[TEX]\righ (b-c\)^2b^2c^2 \le \frac{\(b+c\)^6}{108}\le \frac{1}{108}[/TEX]

[TEX]\righ Done!![/TEX]