Chứng minh bất đẳng thức

[hovang49]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) $(a^2+b^2)(a^4+b^4)$ \geq $(a^3+b^3)^2$
b) $(a+b)(a^3+b^3)$ \leq $2(a^4+b^4)$

~~> Lưu ý gõ tex
Đã sửa
Thân~

 

[changruabecon]

Trả lời

a) (a^2+b^2)(a^4+b^4)\geq(a^3+b^3)^2
b)(a+b)(a^3+b^3)\leq2(a^4+b^4)

Xét hiệu : ([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX])([TEX]a^4[/TEX]+[TEX]b^4)[/TEX])-[TEX]([TEX]a^3[/TEX]+[TEX]b^3[/TEX])^2[TEX]. =[TEX]a^6[/TEX]+[TEX]a^2[/TEX][TEX]b^4[/TEX]+b^2[TEX][/TEX]a^4[TEX]-[/TEX]a^6[TEX]-2[TEX]a^3[TEX][/TEX]b^3[/TEX]-[TEX]b^6[/TEX]
=[TEX]a^2[/TEX][TEX]b^4[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX][TEX]a^4[/TEX]-2[TEX]a^3[/TEX][TEX]b^3[/TEX]
=[TEX]a^2[TEX][/TEX]b^2[/TEX]([TEX]b^2[/TEX]-2ab+[TEX]a^2[/TEX])
=[TEX]a^2[TEX][/TEX]b^2[/TEX][TEX](b-a)^2[/TEX]
Do [TEX]a^2[TEX][/TEX]b^2[/TEX][TEX](b-a)^2[/TEX]\geq0 với mọi a.b.=> ([TEX]a^2[/TEX]+[TEX]b^2[/TEX])([TEX]a^4[/TEX]+[TEX]b^4)[/TEX])-[TEX]([TEX]a^3[/TEX]+[TEX]b^3[/TEX])^2[TEX].\geq0=>đpcm[/TEX]

 

[vansang02121998]

$(a^2+b^2)(a^4+b^4) \geq (a^3+b^3)^2$

$\Leftrightarrow a^6+b^6+a^4b^2+a^2b^4 \geq a^6+2a^3b^3+b^6$

$\Leftrightarrow a^4b^2-2a^3b^3+a^2b^4 \geq 0$

$\Leftrightarrow (a^2b-ab^2)^2 \geq 0$ ( luôn đúng )

Vậy, $(a^2+b^2)(a^4+b^4) \geq (a^3+b^3)^2$




$2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$

$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4) \geq a^4+b^4+a^3b+ab^3$

$\Leftrightarrow a^4-a^3b-ab^3+b^4 \geq 0$

$\Leftrightarrow a^3(a-b)-b^3(a-b) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a^3-b^3) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+b^2) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+ab+\frac{1}{4}b^2+\frac{3}{4}b^2) \geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2[(a+\frac{1}{2}b)^2+\frac{3}{4}b^2 \geq 0$ ( luôn đúng )

Vậy, $2(a^4+b^4) \geq (a+b)(a^3+b^3)$