chung minh bat dang thuc

L

lunglinh999

chuotlongxu_a6 said:
cho tam giác ABC nhọn. CMR:
[tex] cos A^{1+cos B}+ cos B^{1+cos C } + cos C^{ 1+ cos A} < \frac{3}{2} [\tex] @-)=((=((=((|-)|-)[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex] \Delta [/tex] ABC nhọn nên: [tex] \left\{\begin{matrix}0 < & cos A & < 1 \\ 0 < & cos B & < 1 \\ 0 < & cos C & < 1\end{matrix}\right.[/tex].


=> [tex] \left\{\begin{matrix}1 < & 1+ cos A & < 2 \\ 1 < & 1+ cos B & < 2 \\ 1 < & 1+ cos C & < 2\end{matrix}\right. [/tex]
Từ hai điều trên suy ra: [tex] cos A^{1+cos B}+ cos B^{1+cos C } + cos C^{ 1+ cos A} < cos A + cos B + cos C [/tex]

Mặt khác ta có:
[tex] cos A + cos B + cos C - \frac{3}{2} = 2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) + 1 - 2sin^{2} \frac{C}{2} -\frac{3}{2}[/tex]
[tex] = 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{A-B}{2} - 2sin^{2} \frac{C}{2} -\frac{1}{2} (sin^{2}(\frac{A-B}{2})+ cos^{2}(\frac{A-B}{2} )) [/tex]
[tex] = - 2 ( sin^{2} \frac{C} {2}- sin \frac{C}{2} cos (\frac{A-B}{2}) +\frac{1}{4} cos^{2}\frac{A-B}{2} ) - \frac {1}{2}sin^{2}\frac{A-B}{2} [/tex]
[tex] = -2 (sin (\frac{C} {2})- \frac{1}{2} cos(\frac{A-B}{2}))^{2} - \frac {1}{2}sin^{2}\frac{A-B}{2} \leq 0 [/tex]
Hay : [tex] cos A + cos B + cos C \leq \frac{3}{2} [/tex]
từ đó suy ra đpcm.
 
L

lunglinh999

mình xin sửa lại một chút
[tex] \Delta [/tex] ABC nhọn nên: [tex] \left\{\begin{matrix}0 < & cos A & < 1 \\ 0 < & cos B & < 1 \\ 0 < & cos C & < 1\end{matrix}\right.[/tex].


=> [tex] \left\{\begin{matrix}1 < & 1+ cos A & < 2 \\ 1 < & 1+ cos B & < 2 \\ 1 < & 1+ cos C & < 2\end{matrix}\right. [/tex]
Từ hai điều trên suy ra: [tex] cos A^{1+cos B}+ cos B^{1+cos C } + cos C^{ 1+ cos A} < cos A + cos B + cos C [/tex]

Mặt khác ta có:
[tex] cos A + cos B + cos C - \frac{3}{2} = 2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) + 1 - 2sin^{2} (\frac{C}{2}) -\frac{3}{2}[/tex]
[tex] = 2 sin (\frac{C}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) - 2sin^{2} (\frac{C}{2}) -\frac{1}{2} (sin^{2}(\frac{A-B}{2})+ cos^{2}(\frac{A-B}{2} )) [/tex]
[tex] = - 2 ( sin^{2} (\frac{C} {2})- sin (\frac{C}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) +\frac{1}{4} cos^{2}(\frac{A-B}{2}) ) - \frac {1}{2}sin^{2}(\frac{A-B}{2}) [/tex]
[tex] = -2 (sin (\frac{C} {2})- \frac{1}{2} cos(\frac{A-B}{2}))^{2} - \frac {1}{2}sin^{2}(\frac{A-B}{2} )\leq 0 [/tex]
Hay : [tex] cos A + cos B + cos C \leq \frac{3}{2} [/tex]
từ đó suy ra đpcm
 
B

bom_hp

giup e may bai nj vs

1, cmr x,y,z>0 ta co[tex]\sqrt{x^2+xy+y^2}[/tex]+[tex]\sqrt{x^2+xz+z^2}[/tex]+[tex]\sqrt{y^2+zy+z^2}[/tex]>=[tex]\sqrt{3}[/tex](x+y+z)
 
V

vivietnam

bom_hp said:
giup e may bai nj vs

1, cmr x,y,z>0 ta co[tex]\sqrt{x^2+xy+y^2}[/tex]+[tex]\sqrt{x^2+xz+z^2}[/tex]+[tex]\sqrt{y^2+zy+z^2}[/tex]>=[tex]\sqrt{3}[/tex](x+y+z)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
C1:
áp dụng bất đẳng thức vecto ta có
[TEX]VT=\sqrt{(x+\frac{y}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}y}{2})^2}+\sqrt{(y+\frac{z}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}.{y}}{2})^2}+\sqrt{(z+\frac{x}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}.{x}}{2})^2[/TEX] \geq[TEX]\sqrt{(\frac{3.(x+y+z)}{2})^2+\frac{3}{4}.(x+y+z)^2}[/TEX]\geq[TEX]\sqrt{3.(x+y+z)^2}=\sqrt{3}.(x+y+z)[/TEX]

C2: chứng minh tương đương
ta chỉ cần chứng minh
[TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}.(x+y)}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4x^2+4xy+4y^2 \geq 3x^2+6xy+3y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2+y^2-2xy \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x-y)^2 \geq 0[/TEX] đúng
\Rightarrow [TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}[/TEX]
tương tự với 2 bất đẳng thức còn lại
cộng tương ứng 3 vế ta có dpcm
 
Last edited by a moderator:
C

chontengi

Ta có [TEX]x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}2)^2+\frac{3}4y^2[/TEX]

Áp dụng BĐT bunhia

[TEX](x^2+xy+y^2)\frac{4}3\geq(x+y)^2[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq\frac{sqrt{3}}2(x+y)[/TEX]

Tương tự

[TEX]\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq\frac{sqrt{3}}2(y+z)[/TEX]

[TEX]\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq\frac{sqrt{3}}2(z+x)[/TEX]

cộng các vế \Rightarrow đpcm
 
Last edited by a moderator:
B

bom_hp

gửi anh vivietnam
bất đẳng thức vecto anh sử dụng là loại nào chỉ rõ giúp em ,làm tắt quá anh ơi
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom