chung minh bat dang thuc

[chuotlongxu_a6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC nhọn. CMR:
(cosA)^(1+cosB)+(Cos B)^(1+cosC)+(cosC)^(1+cosA)< 3/2@-)=((=((=((|-)|-)

 

[lunglinh999]

cho tam giác ABC nhọn. CMR:
[tex] cos A^{1+cos B}+ cos B^{1+cos C } + cos C^{ 1+ cos A} < \frac{3}{2} [\tex] @-)=((=((=((|-)|-)[/tex]

$$\Delta$$ ABC nhọn nên: $$\left\{\begin{matrix}0 < & cos A & < 1 \\ 0 < & cos B & < 1 \\ 0 < & cos C & < 1\end{matrix}\right.$$.


=> $$\left\{\begin{matrix}1 < & 1+ cos A & < 2 \\ 1 < & 1+ cos B & < 2 \\ 1 < & 1+ cos C & < 2\end{matrix}\right.$$
Từ hai điều trên suy ra: $$cos A^{1+cos B}+ cos B^{1+cos C } + cos C^{ 1+ cos A} < cos A + cos B + cos C$$

Mặt khác ta có:
$$cos A + cos B + cos C - \frac{3}{2} = 2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) + 1 - 2sin^{2} \frac{C}{2} -\frac{3}{2}$$
$$= 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{A-B}{2} - 2sin^{2} \frac{C}{2} -\frac{1}{2} (sin^{2}(\frac{A-B}{2})+ cos^{2}(\frac{A-B}{2} ))$$
$$= - 2 ( sin^{2} \frac{C} {2}- sin \frac{C}{2} cos (\frac{A-B}{2}) +\frac{1}{4} cos^{2}\frac{A-B}{2} ) - \frac {1}{2}sin^{2}\frac{A-B}{2}$$
$$= -2 (sin (\frac{C} {2})- \frac{1}{2} cos(\frac{A-B}{2}))^{2} - \frac {1}{2}sin^{2}\frac{A-B}{2} \leq 0$$
Hay : $$cos A + cos B + cos C \leq \frac{3}{2}$$
từ đó suy ra đpcm.

 

[lunglinh999]

mình xin sửa lại một chút
$$\Delta$$ ABC nhọn nên: $$\left\{\begin{matrix}0 < & cos A & < 1 \\ 0 < & cos B & < 1 \\ 0 < & cos C & < 1\end{matrix}\right.$$.


=> $$\left\{\begin{matrix}1 < & 1+ cos A & < 2 \\ 1 < & 1+ cos B & < 2 \\ 1 < & 1+ cos C & < 2\end{matrix}\right.$$
Từ hai điều trên suy ra: $$cos A^{1+cos B}+ cos B^{1+cos C } + cos C^{ 1+ cos A} < cos A + cos B + cos C$$

Mặt khác ta có:
$$cos A + cos B + cos C - \frac{3}{2} = 2 cos (\frac{A+B}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) + 1 - 2sin^{2} (\frac{C}{2}) -\frac{3}{2}$$
$$= 2 sin (\frac{C}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) - 2sin^{2} (\frac{C}{2}) -\frac{1}{2} (sin^{2}(\frac{A-B}{2})+ cos^{2}(\frac{A-B}{2} ))$$
$$= - 2 ( sin^{2} (\frac{C} {2})- sin (\frac{C}{2}) cos (\frac{A-B}{2}) +\frac{1}{4} cos^{2}(\frac{A-B}{2}) ) - \frac {1}{2}sin^{2}(\frac{A-B}{2})$$
$$= -2 (sin (\frac{C} {2})- \frac{1}{2} cos(\frac{A-B}{2}))^{2} - \frac {1}{2}sin^{2}(\frac{A-B}{2} )\leq 0$$
Hay : $$cos A + cos B + cos C \leq \frac{3}{2}$$
từ đó suy ra đpcm

 

[bom_hp]

giup e may bai nj vs

1, cmr x,y,z>0 ta co$$\sqrt{x^2+xy+y^2}$$+$$\sqrt{x^2+xz+z^2}$$+$$\sqrt{y^2+zy+z^2}$$>=$$\sqrt{3}$$(x+y+z)

 

[vivietnam]

giup e may bai nj vs

1, cmr x,y,z>0 ta co$$\sqrt{x^2+xy+y^2}$$+$$\sqrt{x^2+xz+z^2}$$+$$\sqrt{y^2+zy+z^2}$$>=$$\sqrt{3}$$(x+y+z)

C1:
áp dụng bất đẳng thức vecto ta có
[TEX]VT=\sqrt{(x+\frac{y}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}y}{2})^2}+\sqrt{(y+\frac{z}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}.{y}}{2})^2}+\sqrt{(z+\frac{x}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}.{x}}{2})^2[/TEX] \geq[TEX]\sqrt{(\frac{3.(x+y+z)}{2})^2+\frac{3}{4}.(x+y+z)^2}[/TEX]\geq[TEX]\sqrt{3.(x+y+z)^2}=\sqrt{3}.(x+y+z)[/TEX]

C2: chứng minh tương đương
ta chỉ cần chứng minh
[TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}.(x+y)}{2}[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]4x^2+4xy+4y^2 \geq 3x^2+6xy+3y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^2+y^2-2xy \geq 0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](x-y)^2 \geq 0[/TEX] đúng
\Rightarrow [TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}[/TEX]
tương tự với 2 bất đẳng thức còn lại
cộng tương ứng 3 vế ta có dpcm

 

[chontengi]

Ta có [TEX]x^2+xy+y^2=(x+\frac{y}2)^2+\frac{3}4y^2[/TEX]

Áp dụng BĐT bunhia

[TEX](x^2+xy+y^2)\frac{4}3\geq(x+y)^2[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]\sqrt{x^2+xy+y^2}\geq\frac{sqrt{3}}2(x+y)[/TEX]

Tương tự

[TEX]\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq\frac{sqrt{3}}2(y+z)[/TEX]

[TEX]\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq\frac{sqrt{3}}2(z+x)[/TEX]

cộng các vế \Rightarrow đpcm

 

[bom_hp]

gửi anh vivietnam
bất đẳng thức vecto anh sử dụng là loại nào chỉ rõ giúp em ,làm tắt quá anh ơi