Toán 12 Chứng minh bất đẳng thức sử dụng tính đơn điệu của hàm số

[SleekSkinFish]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a) Chứng minh:

[tex]\frac{x+y}{2}> \frac{x-y}{\ln x - \ln y}[/tex] với mọi [tex]x> y> 0[/tex]

b) Chứng minh:

[tex](2^{a}+\frac{1}{2^{a}})^b\leq (2^{b}+\frac{1}{2^{b}})^a[/tex] với mọi [tex]a\geq b> 0[/tex]

 

[LN V]

a) Chứng minh:

[tex]\frac{x+y}{2}> \frac{x-y}{\ln x - \ln y}[/tex] với mọi [tex]x> y> 0[/tex]

$BPT \iff \dfrac{\dfrac{x}{y}+1}{2}>\dfrac{\dfrac{x}{y}-1}{\ln (\dfrac{x}{y})}$
Đặt $\dfrac{x}{y}=t \ (t>1)$
$BPT \iff \dfrac{t+1}{2}-\dfrac{t-1}{\ln t}>0$

$\iff \dfrac{(t+1)\ln t-2(t-1)}{2\ln t}>0$

$\iff (t+1)\ln t-2(t-1)>0$ (*)

Xét hàm: $f(t)=(t+1)\ln t -2(t-1)$ với $t>1$

Có $f'(t)=\ln t +\dfrac{t+1}{t}-2$ với $t>1$

Lại có: $f''(t)=\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^2}$

Ta thấy $f''(t)>0$ với $t>1$ $\Rightarrow f'(t)$ đồng biến
$\Rightarrow f'(t)>f'(1)=0$ với mọi $t>1$
Do: $f'(t)>0$ $\rightarrow f(t)$ đồng biến trên $(1; +\infty)$
$\rightarrow f(t)>f(1)=0$
$\rightarrow f(t)>0$ (đ.p.c.m)

b) Chứng minh:

[tex](2^{a}+\frac{1}{2^{a}})^b\leq (2^{b}+\frac{1}{2^{b}})^a[/tex] với mọi [tex]a\geq b> 0[/tex]

Lấy loga 2 vế
$BPT \iff b \ln (2^a+\dfrac{1}{2^a}) \leq a \ln (2^b+\dfrac{1}{2^b})$
$\iff \dfrac{\ln (2^a+\dfrac{1}{2^a})}{a} \leq \dfrac{\ln (2^b+\dfrac{1}{2^b})}{b}$
Xét hàm $f(x)=\dfrac{\ln (2^x+\dfrac{1}{2^x})}{x}$ Với $x>0$
Có: $f'(x)= \dfrac{x-(4^x+1)\ln (4^x+1)}{(4^x+1)x^2}$ với $x>0$
Với $x>0$ có: $4^x+1 \geq 2 ; \ 4^x+1>x$ do đó $f'(x)<0$ hàm nghịch biến
Mà $a \geq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)$ (đ.p.c.m)