chứng minh bất đẳng thức mincopxki

[zezo_flyer]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh:
[TEX]\sqrt{a^2+x^2} + \sqrt{b^2+y^2} \geq \sqrt{(a+b)^2 + (x+y)^2}[/TEX]

với a,b,x,y là số thực

(không dùng phương pháp hình học)

_________________
bài này bình phương lên có được không mọi người?

 

[eye_smile]

Bình phương 2 vế, đc:
${a^2}+{b^2}+{x^2}+{y^2}+2\sqrt{({a^2}+{x^2})({b^2}+{y^2})}$ \geq ${a^2}+{b^2}+{x^2}+{y^2}+2ab+2xy$
\Leftrightarrow $\sqrt{({a^2}+{x^2})({b^2}+{y^2})}$ \geq $ab+xy$
\Leftrightarrow ${a^2}{b^2}+{x^2}{y^2}+{a^2}{y^2}+{b^2}{x^2}$ \geq ${a^2}{b^2}+{x^2}{y^2}+2abxy$
\Leftrightarrow ${a^2}{y^2}+{b^2}{x^2}$ \geq $2abxy$ (lđ)
\Rightarrow đpcm

 

[buivanbao123]

Để chứng minh bđt này bạn bình phương 2 vế
BĐT \Leftrightarrow :$a^{2}+x^{2}+b^{2}+y^{2}+2\sqrt{(a^{2}+x^{2})(b^{2}+y^{2})}$ \geq $(a+b)^{2}+(x+y)^{2}$

\Leftrightarrow $2\sqrt{(a^{2}+x^{2}).(b^{2}+y^{2})}$ \geq $2ab +2xy$

\Leftrightarrow $4(a^{2}+x^{2})(b^{2}+y^{2})$ \geq $4a^{2}.b^{2} + 4x^{2}.y^{2}+8abxy$

\Leftrightarrow $(2ay-2bx)^{2}$ \geq 0 ( bđt luôn đúng)

 

[letsmile519]

Ta cần cm

$\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+y^2}$\geq $\sqrt{(a+b)^2+(x+y)^2}$

điều cần cm \Leftrightarrow

$a^2+x^2+b^2+y^2+2.\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{b^2+y^2}$\geq $a^2+b^2+x^2+y^2+2ab+2xy$

\Leftrightarrow $\sqrt{a^2+x^2}.\sqrt{b^2+y^2}$\geq $ab+xy$

\Leftrightarrow $(a^2+x^2).(b^2+y^2)$\geq $(ab+xy)^2$

\Leftrightarrow $a^2b^2+a^2y^2+x^2b^2+x^2y^2$\geq $a^2b^2+x^2y^2+2abxy$

\Leftrightarrow$a^2y^2+x^2b^2-2abxy$\geq $0$

\Leftrightarrow $a^2y^2+x^2b^2-2abxy=(ay-bx)^2$\geq $0$ (Luôn đúng)

-> đpcm