Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức dùng quy nạp

[Nguyen Gia Lap]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh BĐT sau đây, dùng quy nạp :
[tex]x\in \mathbb{R}[/tex] và [tex]x> 0[/tex]
[tex]x^{n}(x^{n+1}+1)/(x^{n}+1) \leq (\frac{x+1}{2})^{2n+1} (n\in \mathbb{N}, n \neq 0)[/tex]

 

[zzh0td0gzz]

n=1 ta được $\frac{x(x^2+1)}{x+1} \leq (\frac{x+1}{2})^3$
<=>[tex]\frac{8x^3+8x-(x+1)^4}{8(x+1)}=\frac{-(x-1)^4}{8(x+1)} \leq 0[/tex]
như ta thấy x=-2 f(x)=81/8 > 0 nên điều này sai

 

[Đắng!]

Chứng minh BĐT sau đây, dùng quy nạp :
[tex]x^{n}(x^{n+1}+1)/(x^{n}+1) \leq (\frac{x+1}{2})^{2n+1} (n\in \mathbb{N}, n \neq 0)[/tex]

+Với n = 1 bất đẳng thúc trở thành
[tex]\frac{x (x^{2}+1)}{x+1} \leq \binom{x+1}{2}^{3} \Leftrightarrow (x+1)^{4}-8x(x^{2}+1)\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{4}\geq 0 \Rightarrow [/tex] Bất đẳng thức đúng với n=1
+ Giả sử BDT đúng với n=k( k thuộc N*).
ta có: [tex]\frac{x^{k}+1(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
Theo giả thiết quy nạp ta được:
[tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+1}+1)}{x^{k}+1}. \binom{x+1}{2}^{2}\leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
Ta cần chứng minh :
[tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \frac{x (x^{k+1}+1)}{x^{k}+1}.\binom{x+1}{2}^{2}\Leftrightarrow (x+1)^{2}.x^{k}.(x^{k+1}+1)^{2}-4(x^{k}+1).x^{k+1} . (x^{k+2}+1)\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{k+1}-1)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow[/tex] Đpcm

 

[zzh0td0gzz]

+Với n = 1 bất đẳng thúc trở thành
[tex]\frac{x (x^{2}+1)}{x+1} \leq \binom{x+1}{2}^{3} \Leftrightarrow (x+1)^{4}-8x(x^{2}+1)\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{4}\geq 0 \Rightarrow [/tex] Bất đẳng thức đúng với n=1
+ Giả sử BDT đúng với n=k( k thuộc N*).
ta có: [tex]\frac{x^{k}+1(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
Theo giả thiết quy nạp ta được:
[tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+1}+1)}{x^{k}+1}. \binom{x+1}{2}^{2}\leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
Ta cần chứng minh :
[tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \frac{x (x^{k+1}+1)}{x^{k}+1}.\binom{x+1}{2}^{2}\Leftrightarrow (x+1)^{2}.x^{k}.(x^{k+1}+1)^{2}-4(x^{k}+1).x^{k+1} . (x^{k+2}+1)\geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{k+1}-1)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow[/tex] Đpcm

khi quy đồng bạn bỏ cái mẫu không xét âm hay dương nên không đúng nhé
thay n=1 vào PT ban đầu để nguyên không biến đổi gì -> thay x=-2 -> chuyển vế sang trừ đi là sẽ thấy BĐT sai

 

[Nguyen Gia Lap]

Minh xin gửi lời xin lỗi đến bạn zzh0td0gzz. Mình chép thiếu một đoạn quan trọng là [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] và [tex]x> 0[/tex]

 

[Đắng!]

Minh xin gửi lời xin lỗi đến bạn zzh0td0gzz. Mình chép thiếu một đoạn quan trọng là [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] và [tex]x> 0[/tex]

Mốt chép đề cho cẩn thận nha bạn!!! Nếu như đề đầy đủ như thế vậy phần trả lời của tớ đúng rùi đó, có điều hơi nhanh, bạn chịu khó suy nghỉ

 

[Nguyen Gia Lap]

Mình đang tính nhờ bạn ghi chi tiết hơn đoạn này. Mình khá là chậm tiêu

x+1)2.xk.(xk+1+1)2−4(xk+1).xk+1.(xk+2+1)≥0xk+1(xk+2+1)xk+1+1≤x(xk+1+1)xk+1.(x+12)2⇔(x+1)2.xk.(xk+1+1)2−4(xk+1).xk+1.(xk+2+1)≥0\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \frac{x (x^{k+1}+1)}{x^{k}+1}.\binom{x+1}{2}^{2}\Leftrightarrow (x+1)^{2}.x^{k}.(x^{k+1}+1)^{2}-4(x^{k}+1).x^{k+1} . (x^{k+2}+1)\geq 0
⇔(x−1)2(xk+1−1)2≥0⇔⇔(x−1)2(xk+1−1)2≥0⇔\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{k+1}-1)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow Đpcm

 

[Đắng!]

Tớ phải cảm ơn bạn, phần mình giải bị sai
Tớ sẽ sửa lại hoàn chỉnh ở bên dưới:
- Với n = 1 bất đẳng thúc trở thành
[tex]\frac{x (x^{2}+1)}{x+1} \leq \binom{x+1}{2}^{3} \Leftrightarrow (x+1)^{4}-8x(x^{2}+1)\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{4}\geq 0 \Rightarrow [/tex] Bất đẳng thức đúng với n=1
+ Giả sử BDT đúng với n=k ( k thuộc N*).
ta có: [tex]\frac{x^{k}(x^{k+1}+1)}{x^{k+1}+1}\leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
Ta cần chứng minh BDT đúng với n=k+1 , tức là [tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
Theo giả thiết quy nạp ta được [tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k}+1}.\binom{x+1}{2}^{2}\leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
Ta cần cm:
[tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1}\leq \frac{x^{k(x^{k+1}+1)}}{x^{k}+1}. \binom{x+1}{2}^{2}\Leftrightarrow (x+1)^{2}.x^{k}.(x^{k+1}+1)^{2}-4(x^{k}+1).x^{k+1}.(x^{k+2}+1)\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{k+1}-1)^{2}\geq 0[/tex]
Rõ ràng BDT luôn đúng.