Toán 10 Chứng minh bất đẳng thức dùng quy nạp

Thảo luận trong 'Mệnh đề. Tập hợp' bắt đầu bởi Nguyen Gia Lap, 31 Tháng bảy 2019.

Lượt xem: 193

  1. Nguyen Gia Lap

    Nguyen Gia Lap Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    76
    Điểm thành tích:
    109
    Nơi ở:
    Cần Thơ
    Trường học/Cơ quan:
    Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Chứng minh BĐT sau đây, dùng quy nạp :
    [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] và [tex]x> 0[/tex]
    [tex]x^{n}(x^{n+1}+1)/(x^{n}+1) \leq (\frac{x+1}{2})^{2n+1} (n\in \mathbb{N}, n \neq 0)[/tex]
     
    Last edited: 1 Tháng tám 2019
    Đắng! thích bài này.
  2. zzh0td0gzz

    zzh0td0gzz Học sinh gương mẫu Thành viên

    Bài viết:
    2,541
    Điểm thành tích:
    384
    Nơi ở:
    Thanh Hóa
    Trường học/Cơ quan:
    ĐH nông nghiệp và phát triển nông thôn

    n=1 ta được $\frac{x(x^2+1)}{x+1} \leq (\frac{x+1}{2})^3$
    <=>[tex]\frac{8x^3+8x-(x+1)^4}{8(x+1)}=\frac{-(x-1)^4}{8(x+1)} \leq 0[/tex]
    như ta thấy x=-2 f(x)=81/8 > 0 nên điều này sai :D
     
  3. Đắng!

    Đắng! Học sinh tiến bộ Thành viên HV CLB Hóa học vui

    Bài viết:
    754
    Điểm thành tích:
    181
    Nơi ở:
    Bà Rịa - Vũng Tàu
    Trường học/Cơ quan:
    Minh Dạm

    +Với n = 1 bất đẳng thúc trở thành
    [tex]\frac{x (x^{2}+1)}{x+1} \leq \binom{x+1}{2}^{3} \Leftrightarrow (x+1)^{4}-8x(x^{2}+1)\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{4}\geq 0 \Rightarrow [/tex] Bất đẳng thức đúng với n=1
    + Giả sử BDT đúng với n=k( k thuộc N*).
    ta có: [tex]\frac{x^{k}+1(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
    Theo giả thiết quy nạp ta được:
    [tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+1}+1)}{x^{k}+1}. \binom{x+1}{2}^{2}\leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
    Ta cần chứng minh :
    [tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \frac{x (x^{k+1}+1)}{x^{k}+1}.\binom{x+1}{2}^{2}\Leftrightarrow (x+1)^{2}.x^{k}.(x^{k+1}+1)^{2}-4(x^{k}+1).x^{k+1} . (x^{k+2}+1)\geq 0[/tex]
    [tex]\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{k+1}-1)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow[/tex] Đpcm
     
    Nguyen Gia Lapstrong brave thích bài này.
  4. zzh0td0gzz

    zzh0td0gzz Học sinh gương mẫu Thành viên

    Bài viết:
    2,541
    Điểm thành tích:
    384
    Nơi ở:
    Thanh Hóa
    Trường học/Cơ quan:
    ĐH nông nghiệp và phát triển nông thôn

    khi quy đồng bạn bỏ cái mẫu không xét âm hay dương nên không đúng nhé
    thay n=1 vào PT ban đầu để nguyên không biến đổi gì -> thay x=-2 -> chuyển vế sang trừ đi là sẽ thấy BĐT sai
     
    Đắng! thích bài này.
  5. Nguyen Gia Lap

    Nguyen Gia Lap Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    76
    Điểm thành tích:
    109
    Nơi ở:
    Cần Thơ
    Trường học/Cơ quan:
    Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng

    Minh xin gửi lời xin lỗi đến bạn zzh0td0gzz. Mình chép thiếu một đoạn quan trọng là [tex]x\in \mathbb{R}[/tex] và [tex]x> 0[/tex]
     
    Đắng! thích bài này.
  6. Đắng!

    Đắng! Học sinh tiến bộ Thành viên HV CLB Hóa học vui

    Bài viết:
    754
    Điểm thành tích:
    181
    Nơi ở:
    Bà Rịa - Vũng Tàu
    Trường học/Cơ quan:
    Minh Dạm

    Mốt chép đề cho cẩn thận nha bạn!!! Nếu như đề đầy đủ như thế vậy phần trả lời của tớ đúng rùi đó, có điều hơi nhanh, bạn chịu khó suy nghỉ :)
     
    Nguyen Gia Lap thích bài này.
  7. Nguyen Gia Lap

    Nguyen Gia Lap Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    76
    Điểm thành tích:
    109
    Nơi ở:
    Cần Thơ
    Trường học/Cơ quan:
    Trường THPT Chuyên Lý Tự Trọng

    Mình đang tính nhờ bạn ghi chi tiết hơn đoạn này. Mình khá là chậm tiêu :p
     
    Đắng! thích bài này.
  8. Đắng!

    Đắng! Học sinh tiến bộ Thành viên HV CLB Hóa học vui

    Bài viết:
    754
    Điểm thành tích:
    181
    Nơi ở:
    Bà Rịa - Vũng Tàu
    Trường học/Cơ quan:
    Minh Dạm

    Tớ phải cảm ơn bạn, phần mình giải bị sai :)
    Tớ sẽ sửa lại hoàn chỉnh ở bên dưới:
    - Với n = 1 bất đẳng thúc trở thành
    [tex]\frac{x (x^{2}+1)}{x+1} \leq \binom{x+1}{2}^{3} \Leftrightarrow (x+1)^{4}-8x(x^{2}+1)\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{4}\geq 0 \Rightarrow [/tex] Bất đẳng thức đúng với n=1
    + Giả sử BDT đúng với n=k ( k thuộc N*).
    ta có: [tex]\frac{x^{k}(x^{k+1}+1)}{x^{k+1}+1}\leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
    Ta cần chứng minh BDT đúng với n=k+1 , tức là [tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1} \leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
    Theo giả thiết quy nạp ta được [tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k}+1}.\binom{x+1}{2}^{2}\leq \binom{x+1}{2}^{2k+3}[/tex]
    Ta cần cm:
    [tex]\frac{x^{k+1}(x^{k+2}+1)}{x^{k+1}+1}\leq \frac{x^{k(x^{k+1}+1)}}{x^{k}+1}. \binom{x+1}{2}^{2}\Leftrightarrow (x+1)^{2}.x^{k}.(x^{k+1}+1)^{2}-4(x^{k}+1).x^{k+1}.(x^{k+2}+1)\geq 0 \Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{k+1}-1)^{2}\geq 0[/tex]
    Rõ ràng BDT luôn đúng.
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->