Toán 11 Chứng minh bằng đạo hàm

ahp56

Học sinh
Thành viên
10 Tháng một 2022
14
13
21
16
TP Hồ Chí Minh

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,806
4
2,216
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác cân có chu vi bằng nhau cho trước, tam giác có diện tích lớn nhất là tam giác đều
ahp56
Gọi tam giác cân là ABC có cạnh bên a, BC=b có [imath]2a+b=x[/imath] (không đổi)
Gọi D là trung điểm BC
[imath]\Rightarrow AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}4}[/imath]

[imath]S=\dfrac{1}2AD.BC=AD.BD=\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}4}.\dfrac{b}4[/imath]

[imath]\Rightarrow 4S=\sqrt{b^2\dfrac{(x-b)^2}4-\dfrac{b^4}4}[/imath]

[imath]\Rightarrow 8S=\sqrt{b^2(x-b)^2-b^4}[/imath]

Xét [imath]f(b)=b^2(x-b)^2-b^4=b^2x^2-2xb^3[/imath]

[imath]f'(b)=2bx^2-6xb^2[/imath]

[imath]f'(b)=0\Leftrightarrow bx^2-3xb^2=0\Leftrightarrow x=3b[/imath]

Vậy [imath]S_{max}[/imath] khi [imath]x=3b[/imath]

Suy ra [imath]2a+b=3b\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \Delta ABC[/imath] đều

Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại [Chương V] Đạo hàm
 
Top Bottom