Chứng minh rằng trong tất cả các tam giác cân có chu vi bằng nhau cho trước, tam giác có diện tích lớn nhất là tam giác đều
ahp56
Gọi tam giác cân là ABC có cạnh bên a, BC=b có [imath]2a+b=x[/imath] (không đổi)
Gọi D là trung điểm BC
[imath]\Rightarrow AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}4}[/imath]
[imath]S=\dfrac{1}2AD.BC=AD.BD=\sqrt{a^2-\dfrac{b^2}4}.\dfrac{b}4[/imath]
[imath]\Rightarrow 4S=\sqrt{b^2\dfrac{(x-b)^2}4-\dfrac{b^4}4}[/imath]
[imath]\Rightarrow 8S=\sqrt{b^2(x-b)^2-b^4}[/imath]
Xét [imath]f(b)=b^2(x-b)^2-b^4=b^2x^2-2xb^3[/imath]
[imath]f'(b)=2bx^2-6xb^2[/imath]
[imath]f'(b)=0\Leftrightarrow bx^2-3xb^2=0\Leftrightarrow x=3b[/imath]
Vậy [imath]S_{max}[/imath] khi [imath]x=3b[/imath]
Suy ra [imath]2a+b=3b\Leftrightarrow a=b\Leftrightarrow \Delta ABC[/imath] đều
Có gì khúc mắc em hỏi lại nha
Ngoài ra, em xem thêm tại
[Chương V] Đạo hàm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
