chứng minh bằng công thức lượng giác

[chauchim]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC thoả mãn 2 cos^2 B + 2cos^2 C + 4cos Bcos C=cos^2 A + 4 - 4cos A. Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông cân đỉnh A

 

[noinhobinhyen]

điều đã cho $\Leftrightarrow (\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC)^2=(cosA-2)^2$

TH1 : $\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC=2-cosA$

$\Leftrightarrow cosA+\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC=2$

Ta có $\sqrt{2}.(cosB+cosC)=\sqrt{2}.2.cos(\dfrac{B+C}{2}).cos(\dfrac{B-C}{2}) \leq 2\sqrt{2}.cos(\dfrac{B+C}{2})=2\sqrt{2}.sin\dfrac{A}{2}$

Đặt $t=sin\dfrac{A}{2}$

Ta có $cosA=1-2sin^2\dfrac{A}{2}=1-2t^2$

$\Rightarrow cosA+\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC \leq 1-2t^2+2\sqrt{2}.t \leq 2$

Như vậy là $cosA+\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC=2 \Leftrightarrow t=
sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $B=C$

....

Coi như xong nhé bạn.

 

[chauchim]

điều đã cho $\Leftrightarrow (\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC)^2=(cosA-2)^2$

TH1 : $\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC=2-cosA$

$\Leftrightarrow cosA+\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC=2$

Ta có $\sqrt{2}.(cosB+cosC)=\sqrt{2}.2.cos(\dfrac{B+C}{2}).cos(\dfrac{B-C}{2}) \leq 2\sqrt{2}.cos(\dfrac{B+C}{2})=2\sqrt{2}.sin\dfrac{A}{2}$

Đặt $t=sin\dfrac{A}{2}$

Ta có $cosA=1-2sin^2\dfrac{A}{2}=1-2t^2$

$\Rightarrow cosA+\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC \leq 1-2t^2+2\sqrt{2}.t \leq 2$

Như vậy là $cosA+\sqrt{2}.cosB+\sqrt{2}.cosC=2 \Leftrightarrow t=
sin\dfrac{A}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ và $B=C$

....

Coi như xong nhé bạn.

cái chỗ \sqrt{2}.2.cos(\dfrac{B+C}{2}).cos(\dfrac{B-C}{2}) \leq 2\sqrt{2}.cos(\dfrac{B+C}{2}) là sao vậy bạn?

cái cos(\dfrac{B-C}{2}) phải có điều kiện gì chứ nhỉ

 

[noinhobinhyen]

Ok!

$cosB+cosC=2.cos\dfrac{B+C}{2}.cos\dfrac{B-C}{2}$

Vì $cos\dfrac{B-C}{2} \leq 1 \Rightarrow cosB+cosC \leq
2.cos\dfrac{B+C}{2}=2.sin\dfrac{A}{2}$

Dấu [=] xảy ra ở đây là khi $cos\dfrac{B-C}{2} = 1 \Leftrightarrow B=C$