Bài này anh dùng cực và đối cực cho tiện nhé, em có thể đọc thêm để tham khảo nha. Cực với đối cực cũng khá giống phương tích đường tròn thôi.
Gọi tiếp điểm của [TEX](I)[/TEX] với CA, AB lần lượt là [TEX]E,F[/TEX].
Lấy điểm H trong mặt phẳng sao cho H là trực tâm tam giác [TEX]BIC[/TEX], [TEX]BI[/TEX] cắt [TEX]CH[/TEX] tại [TEX]Y[/TEX], [TEX]CI[/TEX] cắt [TEX]BH[/TEX] tại [TEX]Z[/TEX], [TEX]DX \perp IM[/TEX] tại X, KT cắt IM tại Q.
Nhận xét 1: [TEX]E,F,Y,Z[/TEX] thẳng hàng.
Vì [TEX]\widehat{IYC}=\widehat{IMC}=90^o[/TEX] nên [TEX]IYMC[/TEX] nội tiếp, suy ra [TEX]\widehat{IYF}=180^o-\widehat{IBF}=180^o-\frac{\widehat{B}}{2}=180^o-\widehat{IBC}=180^o-\widehat{IYZ} \Rightarrow F,Y,E[/TEX] thẳng hàng
Tương tự thì [TEX]F,Z,E[/TEX] thẳng hàng nên [TEX]E,F,Y,Z[/TEX] thẳng hàng.
Nhận xét 2: PN, DE, BI đồng quy.
Vẽ AK vuông góc với BI tại K.
Khi đó [TEX]\Delta AKB[/TEX] vuông tại L nên [TEX]\widehat{PLB}=\widehat{PBL}=\widehat{KBC} \Rightarrow PL \parallel BC \Rightarrow L \in PN[/TEX]
Mặt khác, dễ thấy [TEX]A,E,L,I,F[/TEX] đồng viên nên [TEX]\widehat{FEL}=\widehat{FIB}=\widehat{FDB}=\widehat{FED}[/TEX] nên [TEX]L \in ED[/TEX]
Nhận xét 3: H là cực của PN.
Nhận thấy nếu J là trung điểm PN thì [TEX]IJ.IH=IL.IZ[/TEX].
Mà ta chứng minh được [TEX]\Delta IEL \sim \Delta IZE \Rightarrow IE^2=IL.IZ=IJ.IH[/TEX] nên [TEX]PN[/TEX] là đường đối cực của H so với (I).
Bây giờ lấy $Q'$ trên [TEX](HBC)[/TEX] sao cho [TEX]HQ'[/TEX] là đường kính của [TEX](HBC)[/TEX].
Khi đó $M$ là trung điểm $IQ'$, $Q$ là trung điểm $IX$.
Vì [TEX]IK.ID=IQ.IM \Rightarrow ID^2=IQ.IQ'[/TEX] nên Q' là đối cực của KT.
Từ đó đối cực của T đi qua Q'. Tương tự, NP đi qua T nên đường đối cực của T đi qua H nên HQ' là đối cực của T.
Khi đó [TEX]IT \perp HQ'[/TEX]. Mà ta có 1 kết quả quen thuộc là [TEX]HQ' \perp YZ \Rightarrow AI \perp IT[/TEX]
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
