Toán 10 chứng minh abc khó

[gaxriu nguyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0
a+b+c=

chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)>=

giúp em với @Tiến Phùng

 

[hangng20032007]

Ta có: $$(a+b)(b+c)(a+c)\geqslant a^3b^3c^3\Leftrightarrow (\frac{a+b}{abc})(\frac{b+c}{abc})(\frac{a+c}{abc})\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})(\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab})\geqslant 1$$
Áp dụng BĐT Cô-si 2 số, ta có: $$(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})(\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab})\geqslant2\sqrt{\frac{1}{abc^2}}2\sqrt{\frac{1}{bca^2}}2\sqrt{\frac{1}{acb^2}}=\frac{8}{\sqrt{a^4b^4c^4}}=\frac{8}{a^2b^2c^2}$$
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số, ta có:$$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3=2\sqrt{2}$$
$$\Leftrightarrow (\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})(\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab})\geqslant\frac{8}{a^2b^2c^2}\geqslant \frac{8}{(2\sqrt{2})^2}=1$$ => đccm

 

[gaxriu nguyên]

Ta có: $$(a+b)(b+c)(a+c)\geqslant a^3b^3c^3\Leftrightarrow (\frac{a+b}{abc})(\frac{b+c}{abc})(\frac{a+c}{abc})\geqslant 1\Leftrightarrow (\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})(\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab})\geqslant 1$$
Áp dụng BĐT Cô-si 2 số, ta có: $$(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})(\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab})\geqslant2\sqrt{\frac{1}{abc^2}}2\sqrt{\frac{1}{bca^2}}2\sqrt{\frac{1}{acb^2}}=\frac{8}{\sqrt{a^4b^4c^4}}=\frac{8}{a^2b^2c^2}$$
Áp dụng BĐT Cô-si 3 số, ta có:$$abc\leq (\frac{a+b+c}{3})^3=2\sqrt{2}$$
$$\Leftrightarrow (\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})(\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab})(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ab})\geqslant\frac{8}{a^2b^2c^2}\geqslant \frac{8}{(2\sqrt{2})^2}=1$$ => đccm

ủa vậy bài này mình phải học qua chương BĐT hả

 

[hangng20032007]

ủa vậy bài này mình phải học qua chương BĐT hả

không cần, chủ yếu bạn biết cách áp dụng BĐT Cô-si là được rồi

 

[gaxriu nguyên]

không cần, chủ yếu bạn biết cách áp dụng BĐT Cô-si là được rồi

um cảm mơn bạn nhìu nha

 

[gaxriu nguyên]

⇔(1bc+1ac)(1ac+1ab)(1bc+1ab)⩾1

khúc này nghĩa là sao vậy bạn nói cụ thể giúp mình với dấu tương đương thứ hai ấy
tại sao mình lại làm như vậy

 

[hangng20032007]

bạn tách ra a+b/abc = a/abc + b/abc = 1/bc + 1/ac

 

[gaxriu nguyên]

bạn tách ra a+b/abc = a/abc + b/abc = 1/bc + 1/ac

bạn có thể cho mình thông tin về dạng bất đẳng thức cauchy bạn đang dùng được ko

 

[hangng20032007]

bạn có thể cho mình thông tin về dạng bất đẳng thức cauchy bạn đang dùng được ko

mình dùng $$a+b\geqslant 2\sqrt{ab}$$ (a,b>0)