Toán 9 chứng minh a,b đều là các số nguyên

[cuduckien]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

các bạn giải chi tiết bài này hộ mik với.

 

[2712-0-3]

Trường hợp $a=b$, đề sai.
Xét $a\ne b$. Ta có: $a-b \in \mathbb{Z}$ và $(a-b)(a+b) \in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow a+b \in \mathbb{Q}$, mà $a-b\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow a,b \in \mathbb{Q}$.
Đặt $b= \dfrac{p}{q}$ trong đó $(p,q)=1; q\in \mathbb{N}^*$.
$\Rightarrow a = \dfrac{p+qt}{q}$ với t là số nguyên khác 0. (do a-b nguyên).
Giả sử $q\geq 2$, gọi $m$ là ước nguyên tố của $q \Rightarrow (p,m)=1$.
Xét với mọi n nguyên dương $n\geq 3$ và $n$ không chia hết cho $m$, ta có: $a^n-b^n$ nguyên.
Tức $(p+tq)^n - p^n$ chia hết cho $q^n$
$\Rightarrow tq\left[(p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1} \right]$ chia hết cho $p^n$
$\Rightarrow t \left[(p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1} \right]$ chia hết cho $m^{n-1}$
Mặt khác: $(p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1} \equiv n.p^{n-1} (mod m)$
Mà $n$ không chia hết cho $m$, $(p,q)=1 \Rightarrow np^{n-1}$ không chia hết cho $m$.
Tức $(p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1}$ không chia hết cho $m$
Suy ra ước chung lớn nhất của $(p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1}$ và $m$ là 1 . (do m là số nguyên tố)
Kết hợp (1) suy ra $t\vdots m^{n-1}$ với mọi $n$ không chia hết cho $m$.
Hiển nhiên điều này vô lý (làm gì có số nguyên khác 0 nào như vậy, chia có giới hạn thoi).
Vậy giả sử sai, nên $q=1 \Rightarrow a,b$ đều là số nguyên.

Chúc em học tốt. Tìm hiểu thêm tại: [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học