Trường hợp [imath]a=b[/imath], đề sai.
Xét [imath]a\ne b[/imath]. Ta có: [imath]a-b \in \mathbb{Z}[/imath] và [imath](a-b)(a+b) \in \mathbb{Z}[/imath]
[imath]\Rightarrow a+b \in \mathbb{Q}[/imath], mà [imath]a-b\in \mathbb{Z}[/imath]
[imath]\Rightarrow a,b \in \mathbb{Q}[/imath].
Đặt [imath]b= \dfrac{p}{q}[/imath] trong đó [imath](p,q)=1; q\in \mathbb{N}^*[/imath].
[imath]\Rightarrow a = \dfrac{p+qt}{q}[/imath] với t là số nguyên khác 0. (do a-b nguyên).
Giả sử [imath]q\geq 2[/imath], gọi [imath]m[/imath] là ước nguyên tố của [imath]q \Rightarrow (p,m)=1[/imath].
Xét với mọi n nguyên dương [imath]n\geq 3[/imath] và [imath]n[/imath] không chia hết cho [imath]m[/imath], ta có: [imath]a^n-b^n[/imath] nguyên.
Tức [imath](p+tq)^n - p^n[/imath] chia hết cho [imath]q^n[/imath]
[imath]\Rightarrow tq\left[(p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1} \right][/imath] chia hết cho [imath]p^n[/imath]
[imath]\Rightarrow t \left[(p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1} \right][/imath] chia hết cho [imath]m^{n-1}[/imath]
Mặt khác: [imath](p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1} \equiv n.p^{n-1} (mod m)[/imath]
Mà [imath]n[/imath] không chia hết cho [imath]m[/imath], [imath](p,q)=1 \Rightarrow np^{n-1}[/imath] không chia hết cho [imath]m[/imath].
Tức [imath](p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1}[/imath] không chia hết cho [imath]m[/imath]
Suy ra ước chung lớn nhất của [imath](p+tq)^{n-1}+(p+tq)^{n-2}p + \cdots (p+tq)p^{n-2} +p^{n-1}[/imath] và [imath]m[/imath] là 1 . (do m là số nguyên tố)
Kết hợp (1) suy ra [imath]t\vdots m^{n-1}[/imath] với mọi [imath]n[/imath] không chia hết cho [imath]m[/imath].
Hiển nhiên điều này vô lý (làm gì có số nguyên khác 0 nào như vậy, chia có giới hạn thoi).
Vậy giả sử sai, nên [imath]q=1 \Rightarrow a,b[/imath] đều là số nguyên.
Chúc em học tốt. Tìm hiểu thêm tại: [Bài tập] Chuyên đề HSG: Số học
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
