Toán 9 Chứng minh (3 + căn(5))^n + (3 - căn(5))^n là số nguyên dương

[Wweee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Với mỗi số nguyên dương n , chứng minh [tex](3+ \sqrt{5})^n + (3- \sqrt{5})^n[/tex] luôn là số nguyên dương
9

 

[Lemon candy]

Với mỗi số nguyên dương n , chứng minh [tex](3+ \sqrt{5})^n + (3- \sqrt{5})^n[/tex] luôn là số nguyên dương
9

Còn cần ko vậy , nếu cần thì mk làm nha
Dùng công thức truy hồi:
Đặt Un=[tex](3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n[/tex]
Đặt [tex](3+\sqrt{5})^n[/tex] là A
(3-\sqrt{5})^n là B
-> Un=[tex]A^n+B^n[/tex]
[tex]U_{n+1}=A^n(3+\sqrt{5})+B^n(3-\sqrt{5}) U_{n+2}=A^n(3+\sqrt{5})^2+B^n(3-\sqrt{5})^2=6A^n(3+\sqrt{5})-4A^n+6B^n(3-\sqrt{5})-4B^n \Leftrightarrow U_{n+2}=6U_{n+1}-4U_{n}[/tex]
Từ đây suy ra đpcm

 

[TranPhuong27]

Còn cần ko vậy , nếu cần thì mk làm nha
Dùng công thức truy hồi:
Đặt Un=[tex](3+\sqrt{5})^n+(3-\sqrt{5})^n[/tex]
Đặt [tex](3+\sqrt{5})^n[/tex] là A
(3-\sqrt{5})^n là B
-> Un=[tex]A^n+B^n[/tex]
[tex]U_{n+1}=A^n(3+\sqrt{5})+B^n(3-\sqrt{5}) U_{n+2}=A^n(3+\sqrt{5})^2+B^n(3-\sqrt{5})^2=6A^n(3+\sqrt{5})-4A^n+6B^n(3-\sqrt{5})-4B^n \Leftrightarrow U_{n+2}=6U_{n+1}-4U_{n}[/tex]
Từ đây suy ra đpcm

Công thức truy hồi bậc THCS đã học đâu mà áp dụng vậy

 

[7 1 2 5]

Ta thấy n = 1,2 thỏa mãn. Xét [TEX]n \geq 3[/TEX]
Đặt [tex]x=3+\sqrt{5},y=3-\sqrt{5}\Rightarrow s=x+y=6,p=xy=4[/tex]
Đặt [tex]u_n=x^n+y^n \Rightarrow u_1=s=6,u_2=x^2+y^2=s^2-2p=28[/tex]
Giả sử [tex]u_{n-2},u_{n-1}[/tex] là số nguyên.
Với [tex]u_n=x^n+y^n=(x^{n-1}+y^{n-1})(x+y)-xy^{n-1}-x^{n-1}y=6u_{n-1}-xy(x^{n-2}+y^{n-2})=6u_{n-1}-4u_{n-2}[/tex] cũng là số nguyên.
Vì [tex]u_0,u_1[/tex] là số nguyên nên theo nguyên lí quy nạp 2 bước nhảy ta có đpcm.