Toán 10 Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh rằng

[ln8941595@gmail.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=3$. Chứng minh rằng

$\dfrac{x}{x^2+x+1+yz}+\dfrac{y}{y^2+y+1+zx}+\dfrac{z}{z^2+z+1+xy} \le \dfrac{3}4$

Mn giúp em bài này với ạ. Em cảm ơn nhiều

 

[Lê.T.Hà]

[tex]\sum \dfrac{x}{x^2+x+1+yz} \leq \sum \dfrac{x}{3x+yz}=\sum\dfrac{x}{x(x+y+z)+yz}=\sum\dfrac{x}{(x+y)(x+z)} \leq \dfrac{1}{4}\sum\left ( \dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z} \right )=\dfrac{3}{4}[/tex]

 

[ln8941595@gmail.com]

[tex]\sum \dfrac{x}{x^2+x+1+yz} \leq \sum \dfrac{x}{3x+yz}=\sum\dfrac{x}{x(x+y+z)+yz}=\sum\dfrac{x}{(x+y)(x+z)} \leq \dfrac{1}{4}\sum\left ( \dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z} \right )=\dfrac{3}{4}[/tex]

bđt ở cuối là sao vậy ạ

 

[Lê.T.Hà]

bđt ở cuối là sao vậy ạ

Ủa xin lỗi bị rớt não trong lúc làm, dấu nhân mà làm như dấu cộng :v
Làm thế này mới đúng:
[tex]\sum\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}=\dfrac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \dfrac{2(xy+yz+zx)}{\dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)}=\dfrac{3}{4}[/tex]

Hoặc làm thế này cũng được:
[tex]\sum \dfrac{x}{3x+yz} \leq \dfrac{3}{4}\Leftrightarrow \sum\left ( 1-\dfrac{yz}{3x+yz} \right )\leq \dfrac{9}{4}\Leftrightarrow \sum\dfrac{yz}{3x+yz} \geq \dfrac{3}{4}[/tex]
Thật vậy, ta có:
[tex]\sum \dfrac{yz}{3x+yz}=\sum \dfrac{(yz)^2}{(yz)^2+3xyz} \geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+9xyz}=\dfrac{(xy+yz+zx)^2}{+(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+3xyz(x+y+z)}[/tex]
[tex]=\dfrac{(xy+yz+zx)^2}{(xy+yz+zx)^2+xyz(x+y+z)} \geq \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{(xy+yz+zx)^2+\dfrac{1}{3}(xy+yz+zx)^2}=\dfrac{3}{4}[/tex]

 

[ln8941595@gmail.com]

Ủa xin lỗi bị rớt não trong lúc làm, dấu nhân mà làm như dấu cộng :v
Làm thế này mới đúng:
[tex]\sum\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}=\dfrac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\leq \dfrac{2(xy+yz+zx)}{\dfrac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)}=\dfrac{3}{4}[/tex]

chị nói rõ cái bđt cuối của tổng xích ma thứ nhất đc k ạ

 

[Lê.T.Hà]

[tex](x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=(x+y+z)(xy+yz+zx)-\sqrt[3]{xyz}\sqrt[3]{xy.yz.zx} \geq (x+y+z)(xy+yz+zx)-\dfrac{1}{3}(x+y+z).\dfrac{1}{3}(xy+yz+zx)[/tex]