Toán 9 cho x y z 0 và 1/x+1/y+1/z=3. CMR: 1/(3x+y) +1/(3y+z) + 1/(3z+x) < 3/4

[shiokun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x y z 0 và 1/x+1/y+1/z=3. CMR: 1/(3x+y) +1/(3y+z) + 1/(3z+x) < 3/4

 

[Hyrefallis]

Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ, ta có:
[math]\frac{1}{3x+y}\le \frac{1}{16}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y})[/math][math]=>\frac{1}{3x+y}\le \frac{1}{16}(\frac{3}{x}+\frac{1}{y})[/math][math]=>\sum\frac{1}{3x+y}\le \frac{1}{16}\sum(\frac{3}{x}+\frac{1}{y})=\frac{1}{16}.4\sum\frac{1}{x}=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4} \textnormal{(đpcm)}[/math][math]\textnormal{Dấu bằng xảy ra}\Leftrightarrow x=y=z=1[/math]