Toán 9 cho x>0 , y>0, z>0.cmr [tex]\frac{x}{2} + \frac{y}{2}+ \frac{z}{2} +\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx} + \fra

Thảo luận trong 'Căn bậc hai. Căn bậc ba' bắt đầu bởi Anhnguyen252003, 24 Tháng bảy 2018.

Lượt xem: 274

  1. Anhnguyen252003

    Anhnguyen252003 Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    653
    Điểm thành tích:
    131
    Nơi ở:
    Phú Thọ
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Thanh Thủy
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    upload_2018-7-24_10-25-46.png
     
  2. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,780
    Điểm thành tích:
    424
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    a) Theo BĐT AM-GM ta có:
    [tex]\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\geq 2\sqrt{\frac{x}{yz}.\frac{y}{zx}}=\frac{2}{z}[/tex]
    Tương tự...
    Suy ra [tex]\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}[/tex]
    Suy ra [tex]\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\\\geq \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\\=\left ( \frac{x^2}{2}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x} \right )+\left ( \frac{y^2}{2}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y} \right )+\left ( \frac{z^2}{2}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2z}\right )\\\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}+3\sqrt[3]{\frac{y^2}{2}.\frac{1}{2y}.\frac{1}{2y}}+3\sqrt[3]{\frac{z^2}{2}.\frac{1}{2z}.\frac{1}{2z}}\\=\frac{9}{2}[/tex]
    Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=z=1[/tex]

    b) [tex]P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+xy\\= \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+xy\\\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}+\frac{1}{2xy}+8xy-7xy\\\geq \frac{4}{(x+y)^2}+2\sqrt{\frac{1}{2xy}.8xy}-7.\frac{(x+y)^2}{4}\\\geq \frac{4}{1^2}+4-7.\frac{1^2}{4}\\=\frac{25}{4}[/tex]
    Dấu = xảy ra khi [tex]x=y=\frac{1}{2}[/tex]

    c) [tex]4ab=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow 2ab-\sqrt{ab}\geq 0\Leftrightarrow \sqrt{ab}(2\sqrt{ab}-1)\geq 0\Leftrightarrow ab\geq \frac{1}{4}(vi:ab>0)[/tex]
    [tex]\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}\\=\frac{a^2}{4ab^2+a}+\frac{b^2}{4a^2b+b}\\\geq \frac{(a+b)^2}{4ab^2+a+4a^2b+b}\\=\frac{(a+b)^2}{(a+b)(4ab+1)}\\=\frac{a+b}{4ab+1}\\=\frac{4ab}{4ab+1}\\=1-\frac{1}{4ab+1}\\\geq 1-\frac{1}{4.\frac{1}{4}+1}\\=\frac{1}{2}[/tex]
    Dấu = xảy ra khi [tex]a=b=\frac{1}{2}[/tex]
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->