Toán 8 Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A\, (AB<AC)$ và đường cao $AH$

[ღ๖ۣۜPɦυσηɠℓĭηɦღ]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $\triangle ABC$ vuông tại $A\, (AB<AC)$ và đường cao $AH$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB,AC$ và $DE$ cắt $AH$ tại $I$. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$. Kẻ đường thẳng vuông góc với $OA$ tại $A$ và cắt $BC$ tại $K$ . Chứng minh:
1. $AH^2=AD\cdot BC$ và $\triangle ADE \sim\triangle ACB$.
2. $BK\cdot KC=KB\cdot HC$.
3. Kẻ $BP$ vuông góc với $BC$ ($P$ thuộc $AK$). Chứng minh: Ba điểm $C,I,P$ thẳng hàng.
4. Trên tia đối của tia $AH$ lấy điểm $F$ sao cho $AH=AF$. Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $Q$ sao cho $AB=BQ$. Chứng minh $\widehat{ACF}=\widehat{BCQ}$.
5. $AB$ cắt $CF$ tại $N$ và $CA$ cắt $BF$ tại $M$. Chứng minh: $\dfrac {FM}{MB}+\dfrac {FN}{NC}=1$.

Bài 4 ạ,cảm ơn...........................

 

[Blue Plus]

Mình gợi ý nhé:
a.
$\triangle ADH\sim \triangle AHB$ (g.g) $\Rightarrow \dfrac{AD}{AH}=\dfrac{AH}{AB}=AD.AB=AH^2$
Chứng minh tương tự ta có $AE.AC=AH^2$
Suy ra $AD.AB=AE.AC\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$
$\triangle ADE\sim \triangle ACB$ (c.g.c)
b.
$\triangle ABC$ vuông tại $A$, trung tuyến $AO$ nên $AO=BO=CO$
$\triangle OHA\sim \triangle OAK\Rightarrow \dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OA}{OK}\Rightarrow OK.OH=OA^2=OB^2$
Chú ý: $BH=BO-OH;CH=CO+OH=BO+OH;KB=KO-BO;KC=KO+OC=KO+BO$
Và $OB^2=OK.OH$
$BH.CK=(BO-OH)(KO+BO)=BO^2-BO.OH+BO.KO-OH.KO=BO.OH-BO.KO=BO.(KO-OH)=BO.KH$
$CH.BK=(BO+OH)(KO-BO)=-BO^2-BO.OH+BO.OK-OH.KO=BO.OH-BO.KO=BO.(KO-OH)=BO.KH$
Suy ra $BH.CK=CH.BK$
c.
Ta chứng minh được $BP\parallel AH$
Áp dụng định lí Ta-lét trong $\triangle KAH$ ta có: $\dfrac{BP}{AH}=\dfrac{KB}{KH}$
Gọi $I'$ là giao điểm của $CP$ và $AH$
Áp dụng định lí Ta-lét trong $\triangle CBP$ ta có: $\dfrac{HI'}{BP}=\dfrac{CH}{CB}$
Suy ra $\dfrac{HI'}{AH}=\dfrac{HI'}{BP}.\dfrac{BP}{AH}=\dfrac{CH.KB}{CB.KH}=\dfrac{BO.KH}{CB.KH}=\dfrac12$
Suy ra $I'$ là trung điểm $AH\Rightarrow I'$ trùng $I$
Hay $C,I,P$ thẳng hàng.
d.
$\triangle ABH\sim \triangle CAH(g.g)\Rightarrow \dfrac{AB}{CA}=\dfrac{AH}{CH}\Rightarrow \dfrac{2.AB}{CA}=\dfrac{2.AH}{CH}\Rightarrow \dfrac{AQ}{AC}=\dfrac{HF}{HC}\Rightarrow \dfrac{AQ}{HF}=\dfrac{AC}{HC}$
$\triangle AQC\sim \triangle HFC(c.g.c)\Rightarrow \widehat{ACQ}=\widehat{HCF}\Rightarrow \widehat{ACQ}-\widehat{ACB}=\widehat{HCF}-\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{BCQ}=\widehat{ACF}$
e.
$HE$ cắt $CF$ tại $G$, $HD$ cắt $BF$ tại $J$
Ta có $AN\parallel HG$ mà $A$ là trung điểm $HF$ nên $N$ cũng là trung điểm $FG\Rightarrow \dfrac{FN}{NC}=\dfrac{NG}{NC}$
Cũng từ $AN\parallel$, áp dụng định lí Ta-lét trong $\triangle CBN$ ta có: $\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{NG}{NC}=\dfrac{FN}{NC}$
Chứng minh tương tự ta cũng có $\dfrac{CH}{BC}=\dfrac{FM}{MB}$
Suy ra $\dfrac{FM}{MB}+\dfrac{FN}{NC}=\dfrac{BH}{BC}+\dfrac{CH}{BC}=1$
Nếu có thắc mắc bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.