a.
$(O)$ tiếp xúc với $AB$ hay $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow AB\perp OH\Rightarrow \widehat{OHA}=90^\circ$
Tương tự ta có $\widehat{OKA}=90^\circ$
Tứ giác $AHOK$ có $\widehat{OHA}=\widehat{OKA}=90^\circ$ nên $AHOK$ nội tiếp.
b.
2 tiếp tuyến $MH,MD$ của $(O)$ cắt nhau tại $M\Rightarrow OM$ là phân giác $\widehat{HOD}\Rightarrow \widehat{MOD}=\dfrac12\widehat{HOD}$
Tương tự ta có $\widehat{NOD}=\dfrac12\widehat{KOD}$
Suy ra $\widehat{MON}=\widehat{MOD}+\widehat{NOD}=\dfrac12\left(\widehat{HOD}+\widehat{KOD}\right)=\dfrac12\widehat{HOK}$
$\triangle ABC$ cân tại $A\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
$AHOK$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{HOK}+\widehat{HAK}=180^\circ\Rightarrow \widehat{HOK}=180^\circ-\widehat{HAK}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\widehat{ABC}$
$\Rightarrow \widehat{ABC}=\dfrac12\widehat{HOK}$
Suy ra $\widehat{MON}=\widehat{ABC}=\dfrac12\widehat{HOK}$
c.
Ta tính được $OB=OC=a$
$\widehat{MBO}=\widehat{MON}$ (cmt), $\widehat{BMO}=\widehat{NMO}$ ($MO$ là phân giác $\widehat{HMD}$)
Suy ra $\triangle MBO \sim \triangle MON(g.g)\Rightarrow \widehat{MOB}=\widehat{MNO}$
mà $\widehat{MNO}=\widehat{CNO}$ ($NO$ là phân giác $\widehat{DNK}$)
Suy ra $\widehat{MOB}=\widehat{CNO}$
ta cũng có $\widehat{MBO}=\widehat{NCO}$
Suy ra $\triangle MBO\sim \triangle OCN(g.g)\Rightarrow \dfrac{MB}{OC}=\dfrac{BO}{CN}\Rightarrow MB.CN=OC.OB=a^2$
d.
Ta có bất đẳng thức: Với $a,b>0$, $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
Áp dụng, ta có: $MB+CN\ge 2\sqrt{MB.CN}=2\sqrt{a^2}=2a$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow MB=CN$
$MB=CN$ khi và chỉ khi $AM=AN\Leftrightarrow \triangle AMN$ cân tại $A\Rightarrow \widehat{AMN}=\dfrac{180^\circ-\widehat{BAC}}2=\widehat{ABC}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của $MB+CN$ là $2a$ khi và chỉ khi $MN\parallel BC$
Nếu có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
