Toán 9 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH...

[tuanvt2004]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. E và F là hình chiếu của H trên AB, AC
a, CMR: tam giác AEF đồng dạng tam giác ACB và [TEX]BE.CF.BC=EF^3[/TEX]
b, Gọi M,N là trung điểm HB,HC. MF cắt NE ở K
CMR: $HK\perp EF$

 

[Tạ Đặng Vĩnh Phúc]

a.
Tạm vẽ paint vậy:

Dễ thấy góc AEF = AHF = BHE = BCA (các so le trong và tứ giác EHFA là hcn)
= > AEF đồng dạng tam giác ACB (góc-góc)
=> [tex]\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} = \frac{EF}{BC}[/tex]
Xét tam giác BEH dễ chứng minh (tương tự) đồng dạng với tam giác HFC có [tex]\frac{BE}{HF} = \frac{EH}{FC} \Leftrightarrow BE.FC = EH.HF = AE.AF[/tex]
[tex]\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} = \frac{EF}{BC} \Rightarrow \frac{AE^2}{AC^2} = \frac{AE.AF}{AC.AB} = \frac{EF^2}{BC^2}\Rightarrow BE.CF = AE.AF = \frac{EF^2}{BC^2}.AB.AC \Leftrightarrow BE.CF.BC = \frac{EF^2}{BC}.AB.AC[/tex]
Mà do EF = AH => AH = AB.AC/BC = EF => đpcm

 

[iceghost]

b) Có $\widehat{EMB} = 2\widehat{EHB} = 2\widehat{ACB} = \widehat{FNB}$ nên $EM \parallel FN$
Do $\widehat{EFN} = \widehat{EFH} + \widehat{NFH} = \widehat{AHF} + \widehat{NHF} = \widehat{AHC} = 90^\circ$ nên $EF \perp NF$ và $EF \perp ME$
Áp dụng định lý Ta-lét: $\dfrac{MK}{FK} = \dfrac{ME}{FN} = \dfrac{MH}{NH}$ nên $HK \parallel NF$ và $HK \perp EF$