Toán 8 Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H

[Zelly Nguyễn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. O là giao các đường trung trực của tam giác ABC. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O.
a, Tứ giác BHCD là hình gì? Vì sao?
b, Chứng minh 3 điểm H, M, D thẳng hàng
c, Chứng minh AH = 2OM
d, Gọi P, Q, R thứ tự là các điểm đối xứng với O qua các cạnh AB, BC, CA. CMR: AQ, BR, CP đồng quy

 

[Blue Plus]

a.
$D$ đối xứng với $A$ qua $O\Rightarrow OA=OD=\dfrac12AD$
$O$ là giao điểm ba đường trung trực của $\triangle ABC\Rightarrow OA=OB=OC$.
Xét $\triangle ACD$ ta có đường trung tuyến $OC$ bằng nửa độ dài cạnh tương ứng $AD$
Do đó $\triangle ACD$ vuông tại $C\Rightarrow DC\perp AC$.
Ta cũng có $BH\perp AC$
Suy ra $BH\parallel DC$
Tương tự ta chứng minh được $CH\parallel DB$
Suy ra $BHCD$ là hình bình hành.
b.
Vì $BHCD$ là hình bình hành nên $BC$ và $HD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà $M$ là trung điểm $BC$ nên $M$ cũng là trung điểm $HD$
Suy ra $M,H,D$ thẳng hàng.
c.
Xét $\triangle DHA$ ta có:
$O$ là trung điểm $DA$
$M$ là trung điểm $DH$
Suy ra $OM$ là đường trung bình của $\triangle DHA\Rightarrow OM\parallel AH;OM=\dfrac12AH\Rightarrow AH=2OM$.
d.
Gọi $J$ là trung điểm $OH$.
Ta có $OP=2OM=AH$ và $OP\parallel AH$
Suy ra $AOPH$ là hình bình hành.
Suy ra $AP$ và $OH$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường $\Rightarrow J$ là trung điểm $AP$.
Tương tự ta chứng minh được $J$ là trung điểm $BQ, CR$
Vậy $AP, BQ, CR$ đồng quy.