Toán 9 Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AI, BK, CS cắt nhau tại H. Cminh: AI/HI + BK/HK + CS/HS ≥ 9

Thảo luận trong 'Thảo luận chung' bắt đầu bởi thaithanhqluong13@gmail.com, 21 Tháng tám 2019.

Lượt xem: 148

  1. thaithanhqluong13@gmail.com

    thaithanhqluong13@gmail.com Học sinh mới Thành viên

    Bài viết:
    52
    Điểm thành tích:
    11
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AI, BK, CS cắt nhau tại H
    a, Cminh: AI/HI + BK/HK + CS/HS ≥ 9
    b, Cminh SΔASK=SABC.cos2A
    c, CM IH. IA < BC^2/4
    Giúp mình gấp, thanks nhiều
     
    Tungtom thích bài này.
  2. Tungtom

    Tungtom Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    346
    Điểm thành tích:
    81
    Nơi ở:
    Thanh Hóa
    Trường học/Cơ quan:
    Truong THCS Te Thang

    upload_2019-8-21_22-48-27.png (Bấm vào hình để xem rõ hơn).

    a) Ta có: [tex]\frac{AI}{HI}=\frac{S_{AIC}}{S_{HIC}}=\frac{S_{AIB}}{S_{HIB}}.[/tex]
    Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: [tex]\frac{S_{AIC}}{S_{HIC}}=\frac{S_{AIB}}{S_{HIB}}=\frac{S_{AIC}+S_{AIB}}{S_{HIC}+S_{HIB}}[/tex]=[tex]\frac{S_{ABC}}{S_{BHC}}[/tex]
    Tương tự thì ta có:[tex]\frac{BK}{HK}=\frac{S_{ABC}}{S_{AHC}}; \frac{CS}{HS}=\frac{S_{ABC}}{S_{AHB}}[/tex].
    Do đó: [tex]\frac{AI}{HI}+\frac{BK}{HK}+\frac{CS}{HS}=\frac{S_{ABC}}{S_{BHC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{AHC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{AHB}}=[/tex][tex]S_{ABC}.(\frac{1}{S_{BHC}}+\frac{1}{S_{AHC}}+\frac{1}{S_{AHB}}).[/tex]
    Giờ thì áp dụng [tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{9}{a+b+c}[/tex]. Nếu anh cần thì em sẽ chứng minh bất đẳng thức này ạ.
    Áp dụng cho: [tex]\frac{1}{S_{BHC}}+\frac{1}{S_{AHC}}+\frac{1}{S_{AHB}}[/tex][tex]\geq[/tex] [tex]\frac{9}{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}}=\frac{9}{S_{ABC}}[/tex].
    [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]S_{ABC}.(\frac{1}{S_{BHC}}+\frac{1}{S_{AHC}}+\frac{1}{S_{AHB}})[/tex][tex]\geq[/tex] [tex]S_{ABC}.\frac{9}{S_{ABC}}=9[/tex]
    hay [tex]\frac{AI}{HI}+\frac{BK}{HK}+\frac{CS}{HS}\geq 9[/tex](đpcm).
    Theo em nghĩ câu b chỗ đó phải là [tex]cos^{2}A[/tex] đúng không ạ.
    b) Ta có thể dễ dàng chứng minh được [tex]\Delta ABK\sim \Delta ACS(g-g)\Rightarrow \frac{AS}{AK}=\frac{AC}{AB}\Rightarrow \frac{AS}{AC}=\frac{AK}{AB}.[/tex](1)
    Từ (1) thì ta lại chứng minh được: [tex]\Delta ASK\sim \Delta ACB(c-g-c)[/tex].
    [tex]\Rightarrow \frac{S_{ASK}}{S_{ABC}}=(\frac{AS}{AC})^2=cos^2A. \Rightarrow S_{ASK}=S_{ABC}.cos^2A[/tex](đpcm).
    Câu c em nghĩ là dấu [tex]\leq[/tex] đúng không ạ?
    c) Dễ dang chứng minh được [tex]\Delta BHI\sim \Delta ACI(g-g) \Rightarrow \frac{IH}{IC}=\frac{IB}{IA}\Rightarrow IH.IA=IB.IC[/tex].
    Lại có IB+IC= BC không đổi do tam giác ABC không đổi.
    Do đó IB.IC[tex]\leq \frac{BC}{2}.\frac{BC}{2}=\frac{BC^2}{4}[/tex]
    hay IH.IA [tex]\leq \frac{BC^2}{4}[/tex]
    Dấu bằng xảy ra khi IB=IC nên i là trung điểm BC.Suy ra tam giác ABC cân tại A.
    Mọi người xem có sai gì không ạ.
     
    Last edited: 22 Tháng tám 2019
    thaithanhqluong13@gmail.com thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->