Toán 10 Cho tam giác ABC có $a^4=b^4+c^4$

[duyhung689]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có [imath]a^4=b^4+c^4[/imath]
Chứng minh rằng: tam giác ABC nhọn và [imath]2\sin ^2A=\tan B\tan C[/imath]

 

[chi254]

Cho tam giác ABC có [imath]a^4=b^4+c^4[/imath]
Chứng minh rằng: tam giác ABC nhọn và [imath]2\sin ^2A=\tan B\tan C[/imath]

duyhung689
1)
Ta có: [imath]a^4 = b^4 + c^4[/imath].
Suy ra: [imath]a > b[/imath] và [imath]a > c[/imath]
Vậy [imath]\widehat{A}[/imath] lớn nhất

Khi đó: [imath]a^4 = b^4 +c^4 < a^2b^2 + a^2c^2[/imath]
Suy ra [imath]a^2 < b^2 + c^2[/imath]

Ta có: [imath]\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} > 0 \to \widehat{A} < 90^o[/imath]
Vậy tam giác ABC nhọn.

2) [imath]2\sin ^2A = \tan B.\tan C \iff 2\sin ^2A.\cos B. \cos C = \sin B. \sin C \iff 2.\left(\dfrac{a}{2R} \right)^2. \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \dfrac{b}{2R}.\dfrac{c}{2R}[/imath]
[imath]\iff a^4 = b^4 + c^4[/imath] (Đúng)
Vậy điều phải chứng minh đúng

Có gì không hiểu thì em hỏi lại nha
Ngoài ra, em tham khảo thêm kiến thức tại Tổng hợp kiến thức Hình học cơ bản lớp 10 | Đại số cơ bản lớp 10