Toán 8 Cho p là nửa chu vi tam giác có các cạnh a,b,c. C/m: $\sum \frac{1}{p-a}\geq 2\sum \frac{1}{a}$

Thảo luận trong 'Đại số' bắt đầu bởi Nguyễn Quang Thắng, 13 Tháng tám 2018.

Lượt xem: 554

  1. Nguyễn Quang Thắng

    Nguyễn Quang Thắng Banned Banned

    Bài viết:
    211
    Điểm thành tích:
    61
    Nơi ở:
    Bình Định
    Trường học/Cơ quan:
    THCS Phước Lộc
    Sở hữu bí kíp ĐỖ ĐẠI HỌC ít nhất 24đ - Đặt chỗ ngay!

    Đọc sách & cùng chia sẻ cảm nhận về sách số 2


    Chào bạn mới. Bạn hãy đăng nhập và hỗ trợ thành viên môn học bạn học tốt. Cộng đồng sẽ hỗ trợ bạn CHÂN THÀNH khi bạn cần trợ giúp. Đừng chỉ nghĩ cho riêng mình. Hãy cho đi để cuộc sống này ý nghĩa hơn bạn nhé. Yêu thương!

    Cho p là nửa chu vi tam giác có các cạnh a,b,c
    [TEX]CM: \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geqslant 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
     
  2. Ann Lee

    Ann Lee Cựu Mod Toán Thành viên

    Bài viết:
    1,782
    Điểm thành tích:
    434
    Nơi ở:
    Hưng Yên

    BĐT bổ đề:
    Với $x;y>0$ ta có: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex]
    Dấu = xảy ra khi $x=y$
    ~~~
    Ta có: [tex]p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}>0[/tex] (vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của $\Delta$ nên [TEX]b+c>a[/TEX]
    Tương tự thì [TEX]p-b>0[/TEX] và [TEX]p-c>0[/TEX]
    Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
    [tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}[/tex]
    Tương tự...
    Suy ra [tex]2\left ( \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right )\geq 4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\\\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(dpcm)[/tex]
    Dấu = xảy ra khi [TEX]p-a=p-b=p-c[/TEX] [tex]\Leftrightarrow a=b=c[/tex]
     
    Blue Plus thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY

-->