Toán 8 Cho p là nửa chu vi tam giác có các cạnh a,b,c. C/m: $\sum \frac{1}{p-a}\geq 2\sum \frac{1}{a}$

[Nguyễn Quang Thắng]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho p là nửa chu vi tam giác có các cạnh a,b,c
[TEX]CM: \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geqslant 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

 

[Ann Lee]

Cho p là nửa chu vi tam giác có các cạnh a,b,c
[TEX]CM: \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geqslant 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

BĐT bổ đề:
Với $x;y>0$ ta có: [tex]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}[/tex]
Dấu = xảy ra khi $x=y$
~~~
Ta có: [tex]p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}>0[/tex] (vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của $\Delta$ nên [TEX]b+c>a[/TEX]
Tương tự thì [TEX]p-b>0[/TEX] và [TEX]p-c>0[/TEX]
Áp dụng BĐT bổ đề ta được:
[tex]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\geq \frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}[/tex]
Tương tự...
Suy ra [tex]2\left ( \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c} \right )\geq 4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\\\Leftrightarrow \frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\geq 2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})(dpcm)[/tex]
Dấu = xảy ra khi [TEX]p-a=p-b=p-c[/TEX] [tex]\Leftrightarrow a=b=c[/tex]