Toán 9 Cho nửa $(\mathrm{O})$, đường kính $\mathrm{AB}=2 \mathrm{R}$.

[nuynprin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho nửa [imath](\mathrm{O})[/imath], đường kính [imath]\mathrm{AB}=2 \mathrm{R}[/imath]. Điểm [imath]\mathrm{C}[/imath] cố đinh trên nửa đường tròn. Điểm [imath]\mathrm{M}[/imath] thuôc cung [imath]\mathrm{AC}(\mathrm{M}[/imath] khác [imath]\mathrm{A}[/imath] và [imath]\mathrm{C})[/imath]. Hạ [imath]\mathrm{MH}[/imath] vuông góc với [imath]\mathrm{AB}[/imath] tai [imath]\mathrm{H}[/imath]. Nối [imath]\mathrm{MB}[/imath] cắt [imath]\mathrm{CA}[/imath] tại [imath]\mathrm{E}[/imath]. Hạ [imath]\mathrm{EI}[/imath] vuông góc với [imath]\mathrm{AB}[/imath] tại [imath]\mathrm{I}[/imath]. Gọi [imath]\mathrm{K}[/imath] là giao điểm của [imath]\mathrm{AC}[/imath] và [imath]\mathrm{MH}[/imath]. Chứng minh:
1) Các tứ giác [imath]B H K C[/imath] và [imath]A M E I[/imath] nội tiếp
2) [imath]\mathrm{AK} . \mathrm{AC}=\mathrm{AM}^{2}[/imath]
3) [imath]\mathrm{AE} . \mathrm{AC}+\mathrm{BE}[/imath]. [imath]\mathrm{BM}[/imath] không phụ thuộc vào vi trí điểm [imath]\mathrm{M}[/imath]
4) Khi [imath]\mathrm{M}[/imath] chuyển động trên cung [imath]\mathrm{AC}[/imath] thì đường tròn ngoai tiếp tam giác IMC đi qua 2 điểm cố định

 

[vangiang124]

View attachment 210285CẢmơn anh chị nhiều lắmạ

nuynprin3. Xét [imath]\triangle A E I[/imath] và [imath]\triangle A B C[/imath] có:
[imath]\widehat{A I E}=\widehat{A C B}=90^{\circ}[/imath]

[imath]\widehat{C A B}[/imath] chung

[imath]\Rightarrow \triangle A E I \sim \triangle A B C(g \cdot g)[/imath]

[imath]\Rightarrow \dfrac{A E}{A I}=\dfrac{A B}{A C} \Rightarrow A E \cdot A C=A B \cdot AI[/imath]

Xét [imath]\triangle B E I[/imath] và [imath]\triangle B A M[/imath] có:

[imath]\widehat{B I E}=\widehat{B M A}=90^{\circ}[/imath]

[imath]\widehat{A B M}[/imath] chung

[imath]\Rightarrow \triangle B E I \sim \triangle B A M \text { (g.g) }[/imath]

[imath]\Rightarrow \dfrac{B E}{B I}=\dfrac{B A}{B M} \Rightarrow B E \cdot B M=B I \cdot B A[/imath]

Từ (3) và (4) [imath]\Rightarrow A E \cdot A C+B E \cdot B M=A B(A I+B I)[/imath]

[imath]\Rightarrow A E \cdot A C+B E \cdot B M=A B^2=4 R^2[/imath]

Vậy [imath]A E \cdot A C+B E \cdot B M[/imath] không phụ thuộc vào [imath]M[/imath].

4. Khi [imath]M[/imath] chuyển động trên cung [imath]A C[/imath] thì đường tròn ngoại tiếp tam giác [imath]I M C[/imath] đi qua hai điểm cố định.

Tứ giác [imath]B C E I[/imath] có: [imath]\widehat{B C E}+\widehat{E I B}=90^\circ[/imath]

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

[imath]\Rightarrow[/imath] tứ giác [imath]B C E I[/imath] là tứ giác nội tiếp

[imath]\Rightarrow \widehat{E I C}=\widehat{E B C}(2[/imath] góc nội tiếp cùng chắn cung [imath]E C)[/imath].

Từ câu 1, ta có tứ giác [imath]A M E I[/imath] là tứ giác nội tiếp.

[imath]\Rightarrow \widehat{E I M}=\widehat{E A M}(2[/imath] góc nội tiếp cùng chắn cung [imath]M E)[/imath].

Mà [imath]\widehat{E B C}=\widehat{E A M}(2[/imath] góc nội tiếp cùng chắn cung [imath]M C)[/imath]

[imath]\widehat{M I C}=\widehat{E I C}+\widehat{E I M}=2 . \widehat{E A M}=\widehat{M O C}[/imath] mà 2 đỉnh cùng nhìn cạnh [imath]M C[/imath]

[imath]\Rightarrow M, C, I, O[/imath] thuộc cùng 1 đường tròn

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác [imath]I M C[/imath] đi qua hai điểm cố định [imath]O[/imath] và [imath]C[/imath].

_____
Em tham khảo thêm nhé, chúc em ngủ ngon
1. Căn bậc 2
2. Hàm số bậc nhất
3. Đường tròn
4. Toán thực tế
5. Góc với đường tròn
6. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
7. Hàm số $y = ax^2(a ≠ 0)$ - Phương trình bậc hai một ẩn
8. Hình trụ - Hình nón - Hình cầu

Trọn bộ kiến thức học tốt các môn