Toán 8 Cho hình thang cân $ABCD (AB \parallel CD)$

[Blacklead Gladys]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình thang cân $ABCD (AB \parallel CD)$. Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$
a. Chứng minh $MP$ là phân giác của góc $\widehat{QMN}$
b. Hình thang $ABCD$ phải có thêm điều kiện gì đối với hai đường chéo để góc $\widehat{MNQ}=45^\circ$
c. Chứng minh rằng nếu có thêm điều kiện của câu b thì hình thang cân $ABCD$ có đường cao bằng đường trung bình của nó

mn giúp e bài 2 ggaps vs ạ

 

[Timeless time]

a.
Ta có: $M$ là trung điểm của $AB$, $Q$ là trung điểm của $AD$
$\implies MQ$ là đường trung bình của tam giác $ABD$
$\implies MQ = \dfrac{1}2 BD \quad (1) $
Tương tự với $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD$
$\implies NP = \dfrac{1}2 BD \quad (2) $
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $MQ = NP$
Tương tự ta có: $MN = PQ = \dfrac{1}2 AC$
Vì $ABCD$ là hình thang cân nên $AC = BD \implies MQ = NP = MN = PQ$
$\implies$ Tứ giác $MNPQ$ là hình thoi
$MP$ là phân giác của $\widehat{QMN}$ (tích chất của hình thoi)
b.
Vì $\widehat{MNQ} = 45^\circ \implies \widehat{MNP} = 90^\circ \implies MN \perp NP$
Ta có: $ \begin{cases} MN \parallel AC \\ NP \parallel BD \\ MN \perp NP \end{cases} \implies AC\perp BD$
$\implies$ Hình thang $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc nhau
Ta có $\widehat{MNP} = 90^\circ \implies MNPQ$ là hình vuông
c.
Xét $\triangle QPD$ và $\triangle NPC$ ta có:
$NC = QD$ ( do $AD = DC, NC= \dfrac{1}2BC; QD = \dfrac{1}2 AD$)
$PQ = PN$ ( cmt )
$PD = PC$ ( $P$ là trung điểm của $DC$)
$\implies \triangle QPD = \triangle NPC \quad (c.c.c)$
$\implies \hat{P_1} = \hat{P_4}$
Ta có: $\hat{P_2} = \hat{P_3}$ (vì $MNPQ$ là hình thoi)
Vì $\widehat{DPC}$ là góc bẹt $\implies \hat{P_1}+ \hat{P_2} + \hat{P_3} + \hat{P_4} = 180^\circ$
$\implies 2\hat{P_1} + 2\hat{P_2} = 180^\circ$
$\implies \hat{P_1} = \hat{P_2} = 90^\circ$
$\implies \widehat{MND} = 90^\circ \implies MP \perp PD$
Vì $DC \parallel AB$ ($ABCD$ là hình thoi)
$\implies MP \perp AB$ nên $MP$ là đường cao của hình thang $ABCD$
Ta có: Đường trung bình của hình thang $ABCD$ là $QN$
$\implies$ Hình thang cân $ABCD$ có đường cao bằng đường trung bình thì $MP = NQ$
Ta có: $MNPQ$ là hình thoi có $MP = NQ \implies MNPQ$ là hình vuông
$\implies \, \text{đpcm}$

Có gì không hiểu em hỏi lại nhé. Chúc em học tốt

TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn