Toán 12 Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $ (f(x))^{3}+3f(x)=(2x^{3}-3x^{2}+x)^{2019} $

[utopiaguy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $ (f(x))^{3}+3f(x)=(2x^{3}-3x^{2}+x)^{2019} $, với mọi x thuộc R. Tính: $ \int _0^1f(x) $

 

[iceghost]

Nhưng bài thế này, thường thường tích phân sẽ bằng $0$
gt $\iff f^3(x) + 3 f(x) = (x(x - 1)(2x - 1))^{2019}$
Thay $x$ bằng $1 - x$ ta được $f^3(1 - x) + 3f(1 - x) = ((1 - x)(-x)(1 - 2x))^{2019} = -(x(x-1)(2x-1))^{2019}$
Cộng vế theo vế với gt có $f^3(x) + f^3(1 - x) + 3f(x) + 3 f(1 - x) = 0$
Suy ra $f(x) + f(1 - x) = 0 \quad (*)$
Tới đây đặt $I = \int_0^1 f(x) \, dx$
Lấy tích phân 2 vế từ $0$ tới $1$ thì $(*) \iff I + I = 0$ hay $I = 0$