Toán 12 Cho hai số thực x,y thỏa mãn $x^2+y^2=2$

[notEnvy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hai số thực x,y thỏa mãn [imath]x^2+y^2=2[/imath]. Gọi [imath]M,m[/imath] lần lượt là GTLN, GTNN của biếu thức [imath]P=2(x^3+y^3)-3xy[/imath]. Khi đó [imath]M+m[/imath] là

mn giúp mình giải bài này với ạ

 

[2712-0-3]

View attachment 212344
mn giúp mình giải bài này với ạ

notEnvyĐặt [imath]a=x+y \Rightarrow xy = \dfrac{(x+y)^2 - x^2-y^2}{2} = \dfrac{a^2}{2} - 1[/imath]
Lại có: [imath]2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2 \Rightarrow -2 \leq a \leq 2[/imath]
Ta có:
[imath]P = 2(x+y)^3 - 6xy(x+y) - 3xy = 2a^3 - 6a ( \dfrac{a^2}{2} - 1 ) - 3 ( \dfrac{a^2}{2} - 1 ) = -a^3 - \dfrac{3}{2}a^2 +6a+3[/imath]
Xét: [imath]P' = -3a^2 - 3a + 6 = 0 \Rightarrow a=-2[/imath] hoặc a=1$
Vẽ bảng biến thiên, ta có:
[imath]\min P = -7[/imath] tại [imath]a=-2[/imath] (thỏa mãn)
[imath]\max P = \dfrac{13}{2}[/imath] tại [imath]a=1[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]M + m = \dfrac{-1}{2}[/imath]

Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại: Hàm số và ứng dụng của đạo hàm

 

[notEnvy]

Đặt [imath]a=x+y \Rightarrow xy = \dfrac{(x+y)^2 - x^2-y^2}{2} = \dfrac{a^2}{2} - 1[/imath]
Lại có: [imath]2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2 \Rightarrow -2 \leq a \leq 2[/imath]
Ta có:
[imath]P = 2(x+y)^3 - 6xy(x+y) - 3xy = 2a^3 - 6a ( \dfrac{a^2}{2} - 1 ) - 3 ( \dfrac{a^2}{2} - 1 ) = -a^3 - \dfrac{3}{2}a^2 +6a+3[/imath]
Xét: [imath]P' = -3a^2 - 3a + 6 = 0 \Rightarrow a=-2[/imath] hoặc a=1$
Vẽ bảng biến thiên, ta có:
[imath]\min P = -7[/imath] tại [imath]a=-2[/imath] (thỏa mãn)
[imath]\max P = \dfrac{13}{2}[/imath] tại [imath]a=1[/imath] (thỏa mãn)
Vậy [imath]M + m = \dfrac{-1}{2}[/imath]

Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại: Hàm số và ứng dụng của đạo hàm

2712-0-3hướng tư duy thế nào để ra đc khúc này ạ: [imath]2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2 \Rightarrow -2 \leq a \leq 2[/imath]

 

[Alice_www]

hướng tư duy thế nào để ra đc khúc này ạ: [imath]2(x^2+y^2) \geq (x+y)^2 \Rightarrow -2 \leq a \leq 2[/imath]

notEnvythay [imath]x^2+y^2=2[/imath] vào ta dc
[imath]a^2\le4\Rightarrow -2\le a\le 2[/imath]

 

[notEnvy]

thay [imath]x^2+y^2=2[/imath] vào ta dc
[imath]a^2\le4\Rightarrow -2\le a\le 2[/imath]

Alice_wwwý mình là đoạn này cơ [math]2(x ^ 2 +y ^2 )≥(x+y) ^2[/math], nghĩ thế nào mà lại tìm ra đc pt này để xc định đk của a ý

 

[chi254]

ý mình là đoạn này cơ [math]2(x ^ 2 +y ^2 )≥(x+y) ^2[/math], nghĩ thế nào mà lại tìm ra đc pt này để xc định đk của a ý

notEnvyTheo chị thì do mình biết được [imath]x^2 +y^2[/imath] rồi. Nên định hướng đưa [imath]a[/imath] gắn với cái này để tìm điều kiện
Cái BDT cơ bản là [imath]x^2 +y^2 \ge 2xy \iff 2(x^2 +y^2) \ge x^2 +y^2 +2xy =(x +y)^2[/imath]