Toán 9 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định

[AlexisBorjanov]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB cố định, C là một điểm di chuyển trên đường tròn. Hai trung tuyến AA’ và BB’ của tam giác ABC cắt nhau tại G. Tính giá trị lớn nhất của tích GA.GB.
2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, các trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Độ dài đường trung tuyến BN bằng bao nhiêu?
Em xin cảm ơn!

 

[7 1 2 5]

1. Đặt [TEX]AC=b,CB=a[/TEX].
Ta thấy: [TEX]AA'^2=AC^2+CA'^2=b^2+\frac{a^2}{4} \Rightarrow AG^2=\frac{4}{9}AA'^2=\frac{4}{9}b^2+\frac{1}{9}a^2[/TEX]
Tương tự thì [TEX]BG^2=\frac{4}{9}a^2+\frac{1}{9}b^2[/TEX]
Từ đó [TEX]AG.BG \leq \frac{AG^2+BG^2}{2}=\frac{1}{2}.\frac{5}{9}(a^2+b^2)[/TEX]
Mà [TEX]a^2+b^2=AB^2=4R^2 \Rightarrow AG.BG \leq \frac{10}{9}(a^2+b^2)[/TEX]
2. Đặt [TEX]AC=b,BC=a,BA=c[/TEX]
Ta thấy: [TEX]BG^2=\frac{4}{9}c^2+\frac{1}{9}b^2,AG^2=\frac{4}{9}AM^2=\frac{4}{9}.\frac{1}{4}a^2=\frac{1}{9}a^2[/TEX]
[TEX]AM \perp BN \Leftrightarrow BG^2+AG^2=AB^2 \Leftrightarrow \frac{4}{9}c^2+\frac{1}{9}b^2+\frac{1}{9}a^2=c^2 \Leftrightarrow b^2+a^2=5c^2 \Rightarrow 2b^2+c^2=5c^2 \Rightarrow b^2=2c^2 \Rightarrow a^2=b^2+c^2=3c^2=\frac{3}{2}b^2 \Rightarrow b^2=\frac{2}{3}a^2,c^2=\frac{1}{3}a^2 \Rightarrow BN^2=AB^2+AN^2=c^2+\frac{1}{4}b^2=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{6}a^2=\frac{1}{2}a^2[/TEX]

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.