Cho dãy số {xn} xác định bởi $x_1 \in $ (1, 2) và $x_{n+1} = 1 + x_n –\frac{ x_n^2}{2}$.

[nhavanbecon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số $x_n$ xác định bởi $x_1 \in $ (1, 2) và $x_{n+1} = 1 + x_n –\frac{ x_n^2}{2}$.
a, CMR $|x_n- \sqrt{2}|< (\frac{1}{2}) ^n$ với mọi n >2

b,tìm lim $x_n$

 

[noinhobinhyen_nb]

Xét $f(x) = \dfrac{-1}{2}.x^2+x+1$

$\forall x \in (1;2)$ thì $f(x) < \dfrac{3}{2} và f(x) > 1$ (khảo sát hàm bậc 2 chỗ này ko cần nói nha)

vậy rộng hơn tức là $\forall x \in (1;2)$ thì $f(x) \in (1;2)$

Như vậy $x_{n+1}=f(x_n)$

do $x_1 \in (1;2)$ nên dùng quy nạp suy ra $x_n \in (1;2) \forall n \in N^*$ mà chặt hơn là $x_n \in (1;\dfrac{3}{2})$

Ta có:

$|x_{n+1}-\sqrt{2}|=|\dfrac{x_n^2}{2}-x_n-1+\sqrt{2}|=|x_n-\sqrt{2}|.\dfrac{|x_n-2+\sqrt{2}|}{2}$

Do $x_n \in (1;\dfrac{3}{2}) \Rightarrow |x_n-2+\sqrt{2}| < 1$

Từ đây suy ra
$|x_{n+1}-\sqrt{2}| \leq \dfrac{1}{2}.|x_n-\sqrt{2}|$

Như vậy ta có như sau:

$|x_{n+1}-\sqrt{2}| \leq \dfrac{1}{2}.|x_n-\sqrt{2}| \leq \dfrac{1}{2^2}.|x_{n-1}-\sqrt{2}| \leq ... \leq \dfrac{1}{2^n}.|x_1-\sqrt{2}| \leq \dfrac{1}{2^n}$

(do $x_1 \in (1;2) \Rightarrow |x_n-\sqrt{2}| \leq 1$)

Vậy ta có : $|x_{n+1}-\sqrt{2}| \leq \dfrac{1}{2^n}$

b, Ta có $0 \leq |x_{n+1}-\sqrt{2}| \leq \dfrac{1}{2^n}$

lấy lim hai vế và theo nguyên lý kẹp suy ra $lim |x_{n+1}-\sqrt{2}| = 0$

Suy ra $lim x_n = \sqrt{2}$